Всякий многочлен с любыми комплексными коэффициентами , степень которого не меньше единицы имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

План доказательства .

Лемма №1 . Многочлен f(x) является непрерывной функцией комплексного переменного x.

Лемма №2 . Если данн многочлен n -ой степени, n>0,

f(x)=a ₀ x ⁿ +a ₁ x ^n-1 +…+a _n

с произвольными комплексными коэффициентами и если k - любое положительное действительное число, то для достаточно больших по модулю значений

|a _n x ⁿ |>k|ax ^n-1 +a _n x ^n-2 +….+a ₀ |

Лемма №3 .

Лемма №4 .(Лемма Даламбера).

Если действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывна в замкнутом круге Е, то она ограничена.

Действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывная в замкнутом круге Е достигает своего минимума и максимума.

Надо доказать, что | f(x ₀ +x)-f(x ₀ ) |< e.

Докажем Лемму №1 сначала для многочлена без свободного члена и при x ₀ =0

Если A=max(|a ₀ |,|a ₁ |,…,|a _n-1 |) и (1)

Теперь докажем непрерывность любого многочлена.

f(x ₀ +x)=a ₀ (x ₀ +x) ⁿ +…+a _n

pаскрывая все скобки по формуле бинома и собирая вместе члены с

одинаковыми степенями x получим

Многочлен g(x)-это многочлен от x при x ₀ =0 и а ₀ =0 |f(x ₀ +x)-f(x)|=|g(x)|<e

Лемма доказана.

Если дан многочлен n -ой степени, n>0,

f(x)=a ₀ x ⁿ +a ₁ x ^n-1 +…+a _n

с произвольными комплексными коэффициентами и если k - любое положительное действительное число, то для достаточно больших по модулю значений x верно неравенство:

|a ₀ x ⁿ |>k|a ₁ x ^n-1 +a ₂ x ^n-2 +….+a _n | (2)

Доказательсво.

Пусть А=max( ), тогда

пологая | x| >1, получим

откуда

следовательно неравенство (2) будет выполняться если |x|>1 и

Лемма №2 доказана.

Лемма №3 .

Доказательство.

(3)

применим лемму 2: при k=2 существует такое N ₁ , что при |x|> N ₁

откуда

|a ₁ x ^n-1 +a ₂ x ^n-2 +….+a _n |<|a ₀ x ⁿ |/2

тогда из (3)

при |x|>N=max(N ₁ ,N ₂ ) |f(x)|>M что и тебовалось доказать.

Если при x=x ₀ многочлен f(x) степени n , не обращаеться в нуль, то существует такое приращение h, в общем случае комплексное, что

Доказательство.

По условию f(x ₀ ) не равно нулю, случайно может быть так, что x ₀ является корнем f’(x),..,f ^(k-1) (x). Пусть k-я производная будет первой, не имеющей x ₀ своим корнем. Такое k существует т.к.

f ⁽ⁿ⁾ ( x ₀ )=n!a ₀

Таким образом

Т.к f(x ₀ ) не равно нулю то поделим обе части уравнения на f(x ₀ )

и обозначим

Теперь будем выбирать h. Причем будем отдельно выбирать его модуль и его аргумент.

По лемме№1:

Теперь выберем аргумент h так, чтобы c _k h ^k было действительным отрицательным числом.

При таком выборе c _k h ^k =-| c _k h ^k | следовательно учитывая (4) получим

Что доказывает лемму Даламбера.

Если действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывна в замкнутом круге Е, то она ограничена.

Предположим, что это не верно тогда

получена бесконечная ограниченная последовательность x _n ,

из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность , пусть ее предел равен x ₀ . Так как круг Е замкнут, то x ₀ пренадлежит Е. Тогда так как f(x) непрерывна

получено противоречие, следовательно неверно, предположение о неограничености f(x).

Действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывная в замкнутом круге Е достигает своего минимума и

максимума.

Доказательство.

Докажем это утверждение для максимума.

Так как f(x) непрерывна в Е, то она ограничена и следовательно существует M = sup{ f(x)} . Рассмотрим функцию .

Пусть дан многочлен f(x), очевидно что если a _n -свободный член, то f(0)= a _n . Теперь применим лемму№3: возьмем М=|f(0)| =|a _n | тогда существует такое N, что при |x|>N |f(x)|>M. Теперь возьмем круг Е ограниченный окружностью с центром в нуле и радиусом N, включая границы круга. Так как (по лемме №1) многочлен f(x)-непрерывен, то и |f(x)|-непрерывен внутри замкнутого круга Е, следовательно(по лемме №6), существует такая точка x ₀ , что для всех x из E выполняется неравенство |f(x)|>=|f(x ₀ )|. x ₀ является точкой минимума для |f(x)| внутри E. Т.к для любого x:|x|>N |f(x)|>M>|f(0)|>|f(x ₀ )| точка x ₀ является точкой минимуа |f(x)| на всей комплексной плоскости.

|f(x ₀ )|=0 т.к по лемме Даламбера если |f(x ₀ )| ¹ 0 то x ₀ не точка минимума для |f(x)| Þ x ₀ -корень многочлена f(x).

Теорема доказана.

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки