Степени и корни.
Тождественные преобразования числовых и алгебраических выражений

• Основой для тождественных преобразований числовых и алгебраических выражений служат формулы сокращенного умножения:

(а + b)² = а² + 2аb + b²;

(а - b)² = а² -2аb + b²;

(а + b)³ =a³ + 3a²b + 3ab² + b³;

(а - b)³ = а³ - За²b + Заb² - b³;

а² - b²2 = (а - b) (а + b);

а³ - b³ = (а - b)(а² + аb + b²);

а³ + b³ = (а + b)(а² - ab + b²).

Принято считать, что все тождественные преобразования выполняются в области определения выражений, входящих в рассматриваемую задачу. При этом в ответе сама эта область, как правило, не указывается.

Упростите следующие выражения (1—26):

Задание 1.

Ответ:

0

Задание 2.

Ответ:

0

Задание 3.

Ответ:

-1

Задание 4.

Ответ:

а - b

Задание 5.

Ответ:

Задание 6.

Ответ:

Задание 7.

Ответ:

Задание 8.

Ответ:

1

Задание 9.

Ответ:

Задание 10.

Ответ:

0

Задание 11.

Ответ:

1

Задание 12.

Ответ:

а + 3

Задание 13.

Решение:

Учитывая, что а³ - 125 = (а - 5)(а² + 5а + 25), и приводя дроби к общему знаменателю, получаем

Ответ:

а - 5

Задание 14.

Ответ:

Задание 15.

Ответ:

4

Задание 16.

Ответ:

0

Задание 17.

Ответ:

а⁹

Задание 18.

Ответ:

Задание 19.

Ответ:

(2а + 1)²

Задание 20.

Ответ:

0

Задание 21.

Ответ:

0

Задание 22.

Решение:

Заметим, что а³ + 27 = (а + 3)(а² - За + 9), а² + 7а = 12 = (а + 3)(а + 4). Теперь получаем

Ответ:

1

Задание 23.

Ответ:

Задание 24.

Ответ:

Задание 25.

Решение:

1) Если х > 1, то |x - 1| = х - 1. Тогда

2) Если х < 1, то |х - 1| = 1 - х, откуда

Ответ:

при х > -1 => х² + х + 1; при х < 1 => -х² - х.

Задание 26.

Ответ:

При

при

Решите уравнения (27—34):

Задание 27.

(х - 1)³ = x(x + 2)² - 9

Ответ:

Задание 28.

(x + 2)³ =5 x(x - 1)² + 62

Ответ:

Задание 29.

Ответ:

2

Задание 30.

Указание:

х = -1 не входит в область допустимых значений.

Ответ:

2.

Задание 31.

Решение:

Запишем уравнение в виде

Приведем дробь к общему знаменателю и получим квадратное уравнение х² + х -12=0. Его корни X₁ = -4, Х₂ = 3. Корень х = 3 не входит в область допустимых значений и его нужно отбросить.

Ответ:

{-4}

Задание 32.

Ответ:

{-8}

Задание 33.

Ответ:

Задание 34.

Ответ:

Найдите числа а, b, с, d такие, что выполняются заданные равенства (35—38):

Задание 35.

Ответ:

a = 1; b = 3; с = -1

Задание 36.

Ответ:

Задание 37.

Решение:

Отметим, что (х² - Зх + 2)² = (х - 1)²(х - 2)². Заданное равенство есть равенство двух дробей, из которых одна представлена в виде суммы простейших дробей. Имеем

Приравняем числители этих дробей:

а(х - 2)² + b(х - 1)(х - 2)² + с(х - 1)² + d(x - 2)(х - 1)² = х².

Полагая в этом равенстве х = 1, находим а = 1, а, полагая х = 2, получим с = 4. При а = 1 и с = 4 перепишем равенство в виде

(х - 2)² + 4(х - 1)² - х² = (1 - х)(2 - х)²b + (2 - х)(1 - x)²d.

Теперь положим в этом равенстве х = 0 и получим 4b + 2d = 8, т. е. 2b + d = 4; далее, при х = -1 имеем 18b + 12d = 24, т. е. Зb + 2d = 4. Решив полученную систему, найдем b = 4; d = -4.

Ответ:

а = 1; b = 4; с = 4; d = -4

Задание 38.

Решение:

Поделив х³ + 1 на х³ - 5х + 6х с остатком, имеем

откуда а = 1, а для вычисления коэффициентов b, с и d получаем равенство

b(х - 2)(х - 3) + сх(х - 3) + dx(x - 2) = 5х² - 6х + 1.

Взяв х = 0, находим 6b = 1, т. е

Взяв х = 2, находим -2с = 9, откуда

Наконец, при х = 3, имеем 3d = 28, откуда

Ответ:

Постройте графики функций (39, 40):

Задание 39.

Указание:

Упростив правую часть равенства, получим

Ответ:

График — гипербола.

Задание 40.

Указание:

Упростив правую часть равенства, получим

Ответ:

График — гипербола.

• Напомним, что символом

обозначается арифметический корень из неотрицательного числа а, т. е. неотрицательное число b, такое, что b² - а (соответственно b²ⁿ = а). Символ

обозначает любое число b, такое, что b²n + 1 - а. Справедливы равенства:

Далее, если

— рациональное число, а число а > 0, то по определению

Наконец, напомним правила действия со степенями. Если числа а, b > О, a r₁ и г₂ — любые рациональные числа, то:

Отметим, что для многих показателей r степень а^r определена на более широком множестве. Так, выражение

определено при всех

а

— вообще для всех а € R.

Упростите выражения (41—63):

Задание 41.

-(0,5)² : (0,5)³ - 27^1/3 + 4⁴ • 4^-2 - (0,2)⁰

Ответ:

10

Задание 42.

Ответ:

Задание 43.

Ответ:

8

Задание 44.

Ответ:

10

Задание 45.

Ответ:

-3

Задание 46.

Ответ:

Задание 47.

Ответ:

а^-2

Задание 48.

Ответ:

а^4/5

Задание 49.

Ответ:

2аb^-1

Задание 50.

Ответ:

Задание 51.

Ответ:

Задание 52.

Ответ:

Задание 53.

Ответ:

Задание 54.

Ответ:

1

Задание 55.

Ответ:

1

Задание 56.

Ответ:

1

Задание 57.

Ответ:

Задание 58.

Ответ:

а + b

Задание 59.

Ответ:

-3

Задание 60.

Ответ:

3

Задание 61.

Ответ:

0

Задание 62 .

Ответ:

-25

Задание 63.

Ответ:

Упростив правые части равенств, решите уравнения (64—67):

Задание 64.

Ответ:

Задание 65.

Ответ:

14

Задание 66.

Решение:

Преобразуя правую часть равенства, имеем:

т. е. х³ + х - 2 = - 0. Далее, раскладывая левую часть последнего уравнения на множители, получаем

х³ + х - 2 = (х - 1)(х² + х + 2) = 0, откуда х = 1.

Ответ:

1

Задание 67.

Ответ:

1

Упростите следующие числовые и алгебраические выражения (68—79):

Задание 68.

Ответ:

Задание 69.

Указание:

Найдите числа а и b такие, что a² +b² = 18,

Тогда под корнем окажется выражение (а + b)².

Ответ:

Задание 70.

Ответ:

2

Задание 71.

Указание:

Ответ:

-2

Задание 72.

Решение:

Положим

Тогда, используя формулу (а + b)³ = а³ + b³ + Заb(а + b), получим

Таким образом, х³ = 4 - Зх, т. е. х³ + Зх - 4 = 0. Раскладывая левую часть этого уравнения на множители, имеем (х - 1)(х² + х + 4) = 0, т. е. х = 1.

Ответ:

1

Задание 73.

Ответ:

4

Задание 74.

Ответ:

3

Задание 75.

Ответ:

Задание 76.

Решение:

Так как

то

Мы воспользовались тем, что

Ответ:

Задание 77.

Указание:

После извлечения квадратных корней выражение примет вид

Ответ:

если

1, если

если

Задание 78.

Решение:

Так как

то при

получаем

Мы воспользовались тем, что при

Ответ:

Задание 79.

Указание:

Ответ:

при

при

Постройте графики функций (80—83):

Задание 80.

Ответ:

Задание 81.

Ответ:

Задание 82.

Ответ:

Задание 83.

Ответ:

Разложите на множители многочлены (84—89):

Задание 84.

х⁴+ х² + 1

Указание:

х⁴ + х² + 1 = х⁴ + 2х² + 1 -- х² = (х² + 1)² - х².

Ответ:

(х² - х + 1)(х² + х + 1).

Задание 85.

х⁸ + х⁴ + 1

Решение:

Имеем

Квадратные трехчлены в скобках далее на множители не раскладываются (у всех этих трехчленов отрицательные дискриминанты).

Ответ:

Задание 86.

9х² - 6х - у² + 2у

Ответ:

(Зх - у)(3х + у - 2)

Задание 87.

х² - 2х - 4у² + 4yz + 1 - z²

Ответ:

(х + 2у + z - 1)(х - 2у - z - 1)

Задание 88.

х⁴ + у⁴

Ответ:

Задание 89.

х⁴ + у⁴ + х² у²

Решение:

Получаем

х⁴ + у⁴ + Х²у² = х⁴ + у⁴ + 2х²у² - х²у² = (х² + у²)² - (ху)² = (х² + у² + ху) (х² + у² - ху).

Ответ:

(х² + у² + ху) (х² + у² - ху).

Задание 90.

Найдите все пары чисел (х; у), удовлетворяющие уравнению:

а) 2х² + 5у² + 2ху - 8х + 2у + 10 = 0

б) 10x² - 10ху + 5у² + 2х - 8у + 5 = 0

Решение а).

Замечаем, что 2х² + 5у² + 2ху = (х + 2у)² + (х - у)².

Теперь подберем числа а и b так, чтобы

(х + 2у + а)² + (х - у + b)² = 2х² + 5у² + 2ху - 8х + 2у + 10.

Приравнивая коэффициенты при подобных членах, имеем

откуда а = -1; b = -3.

Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению

(х + 2у - 1)² + (х - у - З)² = 0, т. е.

Решив систему, получаем

Отметим, что это решение можно также получить, решив уравнение относительно одной из
переменных, например «х».

Указание к b:

10х² - 10ху + 5у² = (3х - 2у)² + (х + у)².

Далее см. решение задачи 90 а).

Ответ:

а)

b)

Задание 91.

Найдите все целочисленные решения уравнений:

а) х³ - 6х² - ху + 13х + Зу + 7 = 0

б) 2х³ - 9х² - ху - 6х + 5у + 12 = 0

Решение b):

Запишем уравнение в виде у(х - 5) = 2х³ - 9х² - 6х + 12, откуда, поделив его правую часть на (х - 5) с остатком, получим

Мы ищем целочисленные решения уравнения. Значит, число (х - 5) должно быть целым делителем числа 7. Отсюда следует:

х - 5 = 1=>х = 6, у =84;
х - 5 = -1 => х = 4, у = 28;
x - 5 = 7=>x = 12, у= 300;
х - 5 = -7 => х = -2, у = 4.

Ответ:

а) {(4; 27); (2; -17); (22; 423); (-16; 307)}

б) {(-2; 4), (4; 28), (6; 84), (12; 30)}

Задание 92.

Проверьте, что число

удовлетворяет уравнению х³ + 2bх - 2а = 0.

Указание:

Найдите х³, используя формулу (u - v)³ = u³ - u³ -- 3uv(u - v).

Задание 93.

Проверьте, что если

то х^2/3 + у^2/3 = а^2/3 .

Решение:

Имеем

и, следовательно,

Отсюда и получаем нужное равенство.

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки