Численное моделирование колебания цилиндрического объема жидкости под действием сил поверхностного натяжения комплексным методом граничных элементов.

Введение



Магистерская диссертация посвящена решению фундаментальной задачи о течениях идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в плоской постановке. В качестве инструмента исследования применяется комплексный метод граничных элементов.

Детальное изучение поведения жидкостей в капельном состоянии имеет важное научное и практическое значение и интересует исследователей на протяжении вот уже более полутора сотен лет. В первую очередь потому, что жидкости в капельном состоянии встречаются во многих природных и технологических процессах (распыление аэрозолей, нанесение покрытий методом напыления, взаимодействие поверхностей радаров с влагой дождевых облаков, клеточное деление в биологических системах, непрямое измерение реологических параметров жидкостей и др.).

В настоящей работе представлено численное моделирование процесса колебаний капли невязкой жидкости в плоском приближении. Малые колебания идеальной капли жидкости впервые были рассмотрены Рэлеем [14] который определил период колебаний такой капли при значительных упрощениях. В настоящее время известно множество работ, посвященных анализу указанного процесса [23]. Однако до сих пор исследователям не удалось ни смоделировать распад капли под действием поверхностного натяжения (т.е. собственной деформации), ни определить, какие значения деформаций являются критическими для капель, приводящими их к распаду. Налицо высокая актуальность и ярко выраженный фундаментальный характер задач подобного рода. В настоящее время суествует множество работ, как зарубежных, так и российских, в которых решаются задачи такого характера [8, 23]. Для их решения довольно часто применяются численные методы, использующие дискретное представление границы области решения, не требующие подробного описания внутренней части области. Это метод граничных элементов (МГЭ) [5, 6], комплексный метод граничных элементов (КМГЭ) [9] и другие. В представленной работе используется КМГЭ.

Существенным, для этого метода является использование интеграла Коши [10, 15], на основе которого построен метод граничных интегральных уравнений. Данная формула связывает значение функции, в некоторой внутренней точке области на комплексной плоскости, с интегралом от функции по границе этой области. То есть значения функции в области, где она аналитична, полностью определяются значениями на границе.

Наиболее важными и полезными в приложениях оказываются следующие свойства КМГЭ:

1. Аппроксимирующие функции метода являются аналитическими и точно удовлетворяют двумерному уравнению Лапласа в области, содержащейся внутри кривой, на которой решается задача; при этом погрешность допускается только на границе.

2. Вычисление граничных интегралов вдоль каждого граничного элемента осуществляется точно, без привлечения процедур численного интегрирования.

3. Предельно высокая точность КМГЭ позволяет использовать его для тестирования и калибровки, отличных от него численных моделей, основанных на идее аппроксимации.

Применимость этого метода охватывает широкий круг задач, таких как течение идеальной жидкости, течение в пористых средах, задачи диффузии, теплообмен, задачи теории упругости, задачи вычислительной механики и гидравлики. Однако, для решения именно этой задачи КМГЭ применяется впервые. Работы, использующие этот метод: [1, 15,17, 19 22, 24, 25]

Алгоритмизация проводилась на языке программирования Fortran, с использованием подпрограмм библиотеки IMSL [2 4]. Тексты программ помещены в приложении.



Целью работы является решение задачи о колебании цилиндрического объёма идеальной жидкости под действием сил поверхностного натяжения в плоской постановке.

Для её успешной реализации, так же необходимо рассмотреть теоретические основы метода для H0, H2 - аппроксимирующих функций нулевого и второго порядка, вывести формулы, позволяющие реализовать алгоритм КМГЭ, решить ряд тестовых задач, для которых уже найдено точное аналитическое решение, с целью апробации метода, кроме того, следует вычислить погрешность, получаемую в процессе решения.

Актуальность работы заключается в том, что задачи о поведении идеальных жидкостей со свободной поверхностью носят фундаментальный характер и изучены очень мало, несмотря на пристальный интерес к ним исследователей со всего мира.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработке и тестировании алгоритма реализации комплексного метода граничных элементов для задач в плоской постановке, в частности для колебания цилиндрического объёма жидкости, под действием сил поверхностного натяжения в плоской постановке.

2. Осуществлении вклада в изучение методики решения задач теории потенциала, в частности для задач гидродинамики, рассматривающих проблемы течений идеальной жидкости со свободной поверхностью.

3. Оценке потенциальных возможностей комплексного метода граничных элементов для решения задач такого рода.

Практическая ценность работ, посвященных исследованию процесса колебания капель, обусловлена широкими возможностями использования полученных результатов [8] применительно к технологии спекания в порошковой металлургии, метеорологии.

Магистерская диссертация с текстом программ на фортране.

Идеальная жидкость, комплексный метод граничных элементов (КМГЭ), fortran

1. Афанасьев К.Е., Стуколов С.В. КМГЭ для решения плоских задач гидродинамики и его реализация на параллельных компьютерах: Учебное пособие. Кемерово: КемГУ, 2001. - 208с.

2. Бартеньев, О. В. Современный Фортран / О.В. Бартеньев. - 2-е изд., испр. - М. : Диалог-МИФИ, 1998. - 397 с.

3. Бартеньев, О. В. Visual fortran: новые возможности / О. В. Бартеньев. - М. : Диалог-МИФИ, 1999. - 304 с.

4. Бартеньев, О. В. Фортран для профессионалов: математическая библиотека IMSL / О. В. Бартеньев. - Москва : Диалог-МИФИ.Ч.2. - 2001. - 320 с.

5. Бенерджи П., Баттерфилд Р., Методы граничных элементов в прикладных науках: Пер. с англ.-М.: Мир, 1984.

6. К. Бреббия, Ж. Телес, Л. Вроубел., Методы граничных элементов: Пер. с англ.-М.: Мир, 1984.

7. Будак Б.М, Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике: учебное пособие. 3-е изд., стереотип. М.: Наука. Главная редакция физико математической литературы, 1980, 688 с.

8. Гегузин Я. Е. Капля. М. Наука, 1977. 176с.

9. Громадка II Т., Лей Ч., Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах: Пер. с англ.-М.: Мир, 1984.

10. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- M.: Наука, 1965.- 716 с

11. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика. 3-е изд. перераб. М: Наука. Гл. Ред. физ-мат. лит., 1986. 736 с.

12. Л. Г. Лойцянский. Механика жидкости и газа Л., 1950. 676 с.

13. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения, граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к задачам математической физики. М.: Наука, 1957.

14. Рэлей Д. Теория звука. М.: Гостехиздат, 1944. Т.2. 476 с.

15. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной.- М.: Наука, 1967.- 304 с.

16. Штоколова М.Н. Вычислительные проблемы моделирования задачи о колебаниях капли. Сборник материалов I Всероссийской конференции молодых учёных. Физика и химия высокоэнергетических систем (26 29 апреля 2005 г., Томск). Томск: Томский государственный университе, 2005. 416 с.

17. S.M. Aleynikov, A.V. Stromov. Comparison of complex methods for numerical solutions of boundary problems of the Laplace equation // Eng. Anal. Bound. Elements. 2004. No. 28. P. 615 622.

18. Arpaci, V.S., Conduction Heat Transfer, Addison Wesley, Reading, Mass.,1966.

19. Y.Z. Chen. An accurate technique for evaluating stress at boundary points in boundary element method // Eng. Anal. Bound. Elements. 2000. No. 30. P. 357 360.

20. T.S. Fisher, K.E. Torrance, Constrained optimal duct shapes for conjugate laminar forced convection // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2000. No. 43. P. 113 126.

21. Liggett J. A., Liu P. L.-F., The boundary integral equation method for porous media flow, George Allen and Unwin, London, 1983.

22. T. Petrila. Consideration of a CVBEM approximation for plane hydrodynamics // Eng. Anal. Bound. Elements. 2006. No. 30. P. 1045 1048.