Интерполирование и экстраполирование функций.

Решение: 1) Выберем из таблицы синусов несколько значений и составим таблицу разностей первого и второго порядков: x sin x yi 2yi 1,03 0,8573 0,0051 -0,0001 1,04 0,8624 0,0050 -0,0001 1,05 0,8674 0,0049 -0,0001 1,06 0,8724 0,0048 -0,0001 1,07 0,8772 0,0048 1,08 0,8820 На возможность использования линейной интерполяции указывает тот факт, что разности первого порядка практически постоянны, а также выполнение соотношения ; действительно, . При вычислении пользуемся формулой: (x)= (x0)+q(x0), где q=(x – x0)/h, а x0 – ближайшее значение в таблице, меньшее чем 1,0618. Имеем x0 =1,06; q =(1,0618 –1,06)/0,01=0,18; sin 1,0618 0,8724+0,180,0049 = 0,873282. Выберем теперь из таблицы косинусов несколько значений и составим таблицу разностей первого и второго порядков: x cos x yi 2yi 0,11 0,99396 -0,0011 -0,0001 0,12 0,99281 -0,0012 -0,0001 0,13 0,99156 -0,0013 -0,0001 0,14 0,99022 -0,0014 -0,0001 0,15 0,98877 -0,0015 0,16 0,98723 Разности первого порядка практически постоянны, а также справедливо соотношение (так как ), что указывает на возможность применения линейной интерполяции. Полагаем x0 = 0,14; тогда q = (0,1458 – 0,14)/0,01=0,58; значит, cos 0,1458 0,99022+0,58(−0,0014) = 0,989408. 2) Формула квадратичной интерполяции: , где q = (x – x0)/h, h = xi+1 – xi (i = 0, 1, …, n). Составим расчетную таблицу: yi 2yi 3yi 1,675 9,5618 -0,0915 0,0016 0,00020 1,676 9,4703 -0,0899 0,0018 -0,00030 1,677 9,3804 -0,0881 0,0015 0,00020 1,678 9,2923 -0,0866 0,0017 -0,00030 1,679 9,2057 -0,0849 0,0014 0,00020 1,68 9,1208 -0,0835 0,0016 -0,00020 1,681 9,0373 -0,0819 0,0014 0,00010 1,682 8,9554 -0,0805 0,0015 -0,00020 1,683 8,8749 -0,079 0,0013 0,00000 1,684 8,7959 -0,0777 0,0013 0,00010 1,685 8,7182 -0,0764 0,0014 -0,00010 1,686 8,6418 -0,075 0,0013 1,687 8,5668 -0,0737 1,688 8,4931 Разности первого порядка практически постоянны, а также справедливо соотношение (так как ), что указывает на возможность применения квадратичной интерполяции. Вычислим значение функции в точке 1,6837: ; и вычислим значение функции в точке 1,6814: ;

Работа 1 Задание. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана: 1) в неравноотстоящих узлах таблицы; 2) в равноотстоящих узлах таблицы. Варианты к заданию 1) приведены в табл. 5.1 прил. 5. Вариант Таблица значений № вар. x x y 8 0,114 0,35 2,73951 0,41 2,30080 0,47 1,96864 0,51 1,78776 0,56 1,59502 0,64 1,34310 Варианты к заданию 2) приведены в табл. 5.2 прил. 5. Вариант Таблица значений № вар. x x y 8 0,1315 0,150 6,61659 0,155 6,39989 0,160 6,19658 0,165 6,00551 0,170 5,82558 0,175 5,65583 Работа 2 Задание. 1) Используя линейную интерполяцию, вычислить значения функции при заданных значениях аргумента. Предварительно убедиться в применимости формулы, для чего выбрать шесть значений из таблицы синусов (точность 0,000001) и составить таблицу разностей. 2) Используя квадратичную интерполяцию, вычислить значения функции при данных значениях аргумента. Предварительно убедиться в применимости формулы. Варианты к заданию 1) приведены в табл. 5.3 прил. 5. № вар. Задание а) Задание б) 8 а) sin 1,0618 б) cos 0,1458 Варианты к заданию 2) приведены в табл. 5.4. прил. 5. 8 1,6837 1,6814 x y 1,675 9,5618 1,676 9,4703 1,677 9,3804 1,678 9,2923 1,679 9,2057 1,680 9,1208 1,681 9,0373 1,682 8,9554 1,683 8,8749 1,684 8,7959 1,685 8,7182 1,686 8,6418 1,687 8,5668 1,688 8,4931

нет