Контрольная работа - 1 задача..

Если Х случайная величина, то функция FХ(х) = P(Х ≤ x) называется функцией распределения случайной величины x. Здесь P(Х ≤ x) вероятность того, что случайная величина Х принимает значение, меньшее x.
СХЕМА
Проверим, согласуются ли данные с гипотезой о нормальном распределении. Проверку проведем с помощью: а) критерия хи-квадрат Пирсона; б) критерия Колмогорова.
Предположим, что с. в. Х имеет нормальный закон распределения. Проверим эту гипотезу с помощью критерия Пирсона 2 (расчетная таблица 2).
Таблица 2
xi ni ui φ(ui) ni' ni - ni' (ni - ni')2 (ni - ni')2/ni'
1,5057 4 -2,1788 0,0371 2,1328 1,8672 3,4865 1,635
3,2371 8 -1,6039 0,1109 6,3754 1,6246 2,6395 0,414
4,9684 11 -1,0290 0,2347 13,492 -2,492 6,2115 0,460
6,6998 18 -0,4542 0,3605 20,724 -2,724 7,4213 0,358
8,4312 20 0,1207 0,3961 22,771 -2,771 7,6771 0,337
10,1626 24 0,6956 0,3123 17,953 6,0467 36,562 2,037
11,8939 10 1,2705 0,1781 10,239 -0,239 0,0569 0,006
13,6253 5 1,8453 0,0721 4,1448 0,8552 0,7313 0,176
Сумма 100 97,83
5,423

По таблице критических точек распределения , по уровню значимости  = 0,05 и числу степеней свободы k = n 3 = 8 3 = 5 находим критическую точку правосторонней критической области

Так как ,то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности принимаем. Другими словами эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо (уровень значимости  = 0,05).

Дан простой статистический ряд.

5,482 4,930 7,572 5,558 10,281 2,284 9,895 6,281 6,405 7,121
6,948 8,704 6,472 10,597 11,391 7,302 8,646 8,690 4,473 7,851
13,306 3,587 11,966 6,514 9,203 10,101 13,147 11,139 7,109 12,156
10,332 2,274 8,377 7,101 7,242 2,010 10,644 8,341 11,328 10,980
13,573 6,408 5,602 10,535 7,284 9,836 2,718 13,587 10,223 7,912
9,937 2,722 9,601 4,051 9,474 2,633 12,516 9,979 5,046 8,411
6,311 7,802 10,831 5,579 5,745 8,985 8,126 5,209 12,241 9,727
10,691 3,627 6,488 9,659 11,717 5,641 6,216 8,379 11,466 9,479
0,640 9,955 7,881 14,491 9,662 7,719 4,335 10,366 9,831 3,918
3,963 11,004 7,488 7,720 11,171 6,025 8,107 8,250 6,678 9,114

Задание:
1. Построить интервальный статистический ряд.
2. Оценить математическое ожидание и дисперсию.
3. Построить гистограмму и график выборочной функции распределения.
4. Проверить, согласуются ли данные с гипотезой о нормальном распределении. Проверку провести с помощью:
а) критерия хи-квадрат Пирсона;
б) критерия Колмогорова.
5. Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии точным и приближенным способом. Доверительную вероятность принять равной 0,95.
6. Оценить число статистических данных, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что выполняется неравенство:
|М[Х] М*[Х]|

Решение:
1. Построим интервальный статистический ряд.
Число интервалов вариационного ряда:
n = 1 + 3.322 lg N = 1 + 3.322 lg 100 ≈ 7.64 ≈ 8
Размер интервала:
hх = (Хмах Хмин) / n = (14,491 0,64) / 8 = 1,7314
Таблица 1
Интервал Середина интервала
x Частоты
f Частости
W = f / ∑f Накопленные частоты
0,6400 2,3714 1,5057 4 0,04 4
2,3714 4,1028 3,2371 8 0,08 12
4,1028 5,8341 4,9684 11 0,11 23
5,8341 7,5655 6,6998 18 0,18 41
7,5655 9,2969 8,4312 20 0,2 61
9,2969 11,0283 10,1626 24 0,24 85
11,0283 12,7596 11,8939 10 0,1 95
12,7596 14,4910 13,6253 5 0,05 100
Сумма 100 1,000


Оценим математическое ожидание и дисперсию.
,


Построим гистограмму и график выборочной функции распределения.
Гистограмма представляет собой графическое изображение зависимости частоты попадания элементов выборки от соответствующего интервала группировки.
ГИСТОГРАММА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ