Контрольная работа по высшей математике (интегралы)..

5. Найти интервал сходимости степенного ряда:


Решение.

Используем формулу радиуса сходимости.










Таким образом, радиус сходимости равен 1. Область сходимости (-1; 1).
Исследуем поведение ряда в граничных точках.

X=-1.

- знакочередующийся ряд. Применяем признак Лейбница.


1) - условие выполнено.
2) - условие выполнено.
Следовательно, знакочередующийся ряд сходится.

X=1.

- знакоположительный ряд. Применяем интегральный признак.




Интеграл расходится, значит, знакоположительный ряд расходится.

Область сходимости [-1; 1).

Контрольная работа включает задачи по темам: вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями; вычисление несобственного интеграла; исследование сходимости числового ряда; определение области сходимости функционального ряда; нахождение интервала сходимости степенного ряда; разложение функции в ряд Фурье; вычисление двойного интеграла; вычисление многократного интеграла.

1. Данко, Попов, Кожевникова. Высшая математика в примерах и задачах.
2. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление.