Контрольное домашнее задание №2 по III разделу Вариант №5 (Д,П,Ш).

5. Вычислить передел, используя правило Лопиталя:
.
Решение:

.

25. Сторона стального квадратного листа равна . Из этого листа предполагается сделать емкость для хранения воды. Определить максимально возможный объем воды, который можно хранить в этой емкости.

Решение:
т.к. стальной лист квадратный, то будем рассматривать сделанную из него емкость в виде прямоугольного параллелепипеда без крышки. Пусть - длина, ширина и высота емкости соответственно, тогда объем воды, который может в нее вместиться:
,
площадь поверхности такой емкости:
.
Т.к. емкость делают из стального листа квадратного со стороной 4,5, то:
, откуда выразим :
, далее, т.к. наибольшую площадь основания емкости будет иметь квадрат, то и получим: , следовательно,
, найдем максимальное значение полученной функции:
,

тогда:

следовательно, .
Ответ: .


35. Исследовать функцию , построить график и вычислить ее значение в точке экстремума, если .
Решение:

1) Область определения: ;
2) Четность/нечетность:
функция общего вида. Функция не периодическая.
3) Точки пересечения с осями координат:
с осью Ох: , т.е. точки (-1,4;0) и (0,6;0);
с осью Оу: , т.е. точка (0;8,4);
4) Функция непрерывна на R;
5) Интервалы монотонности и точки экстремума:
найдем стационарные точки , , тогда:

следовательно, на функция возрастает, а на убывает. В точке локальный максимум, ;
6) Интервалы выпуклости/вогнутости. Точки перегиба.
Найдем производную второго порядка:
, следовательно, график функции выпуклый на R.
7) Построим график фунции:


45. Плоскость проходит через три точки А, В и С. Записать уравнение плоскости АВС и определить расстояние от этой плоскости до точки D.
А(5;5;5), В(4;4;4), С(3;2;1), D(5;1;2)
Решение:
запишем уравнение плоскости проходящей через три точки А, В и С:


- искомое уравнение.
Определим теперь расстояние от точки D до плоскости АВС:
.

5. Вычислить передел, используя правило Лопиталя:
25. Сторона стального квадратного листа равна а. Из этого листа предполагается сделать емкость для хранения воды. Определить максимально возможный объем воды, который можно хранить в этой емкости.
а=4,5
35. Исследовать функцию y=ax^2+bx+c, построить график и вычислить ее значение в точке экстремума, если a=-10,b=-8,c=8.4.
45. Плоскость проходит через три точки А, В и С. Записать уравнение плоскости АВС и определить расстояние от этой плоскости до точки D.
А(5;5;5), В(4;4;4), С(3;2;1), D(5;1;2)

нет