Математические методы в экономике.

Решение.
1. Переменными в модели являются:
объем производства типографской бумаги, т;
объем производства писчей бумаги, т.
Целью анализа является максимизация дохода, количественным выражением которого является запись: 5 x1 + 8 x2, тогда получим условие оптимизации целевой функции
(1)
При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения на расход производственных факторов (мука, целлюлоза, каолин), а также ограничения на выпуск продукции.
Например, целлюлозы на выпуск изделий x1 и x2 тратится (в тоннах)
0,2 x1 + 0,5 x2 и эти затраты не должны превышать имеющегося запаса в 50 т, тогда получаем ограничение 0,2 x1 + 0,5 x2 ≤ 50. Аналогично записывая оганичения на другие мощности, получим систему:

Ограничениями на выпуск будут:

Записываем окончательную систему ограничений:
(2)
Т.о., получили математическую модель задачи линейного программирования: найти максимум целевой функции (1) при выполнении ограничений (2).
2. Графический метод. Рассмотрим задачу (1) (2). В ней только 2 переменные x1 и x2, поэтому ее можно решить графически на координатной плоскости x1Оx2.
Построим область допустимых решений (ОДР) выпуклый многоугольник, получающийся при пересечении полуплоскостей, заданных неравенствами (2). Полуплоскость, отвечающая I неравенству системы (2) 0,8x1+ 0,5x2  80, будет лежать под прямой, заданной уравнением 0,8x1 + 0,5x2 = 80 (нижняя полуплоскость). Аналогично построим полуплоскости, отвечающие II и III неравенствам.
Для неравенств IV и V берем верхние полуплоскости
В данном случае ОДР представляет собой треугольник АВС, образованный пересечением полуплоскостей под номерами I, IV и V (соответствуют номерам в системе (2)). ОДР изображен на рис. 1.

Задача 1. Линейное программирование.
Бумажный комбинат располагает 50 т целлюлозы, 80 т древесной муки и 2 т каолина. Нормы расхода этих ресурсов (кг) на производство 1 т бумаги разного вида (типографской и писчей) даны в таблице:
Вид ресурса Нормы расхода в кг на 1т бумаги
типографской писчей
древесная мука 800 500
целлюлоза 200 500
каолин 20 10
прибыль, тыс. у.е. 5 8

Как эффективно распорядиться имеющимися ресурсами при условии, что уже заключен договор на поставку 60 тонн типографской бумаги, а общий выпуск бумаги должен составлять не менее 120 тонн.
Требуется:
1. Составить математическую модель задачи;
2. Решить задачу тремя способами:
 графическим методом;
 симплекс-методом;
 на компьютере (программы LPG или EXCEL).
3. Выполнить графическим методом экономический анализ полученного решения (чувствительность и устойчивость решения к изменениям правых частей ограничений и вариациям коэффициентов целевой функции).
4. Составить и решить любым методом двойственную задачу.

Задача 2. Модель Леонтьева.
Дана матрица А коэффициентов прямых материальных затрат с компонентами ( ) и вектор конечного выпуска у с компонентами ( ).
Номер варианта а11 а12 а13 а21 а22 а23 а31 а32 а33 у1 у2 у3
6 0,4 0,2 0,2 0,2 0,4 0,2 0,3 0,2 0,1 120 210 200

Задача 3. Модели сетевого планирования и управление.
В таблице задана продолжительность работ сетевой модели.
Работа Продолжительность
1-2 5
1-3 -
1-4 1
1-6 1
2-3 2
2-5 1
2-8 -
3-4 4
3-6 3
3-7 -
4-5 8
4-7 1
4-8 5
5-7 2
6-7 8
6-8 -
7-8 6
Требуется:
 построить сетевой график;
 найти критический путь и минимальное время выполнения проекта;
 рассчитать полный и свободный резерв времени для некритических работ;
 нарисовать диаграмму Гантта.
Примечание. Черта означает отсутствие связи между соответствующими событиями.