Математика Вариант 14.

Задача 7. Если система векторов является линейно независимой, то выразить вектор в базисе . Если система векторов является линейно зависимой, то определить, какой из них надо заменить на вектор

чтобы полученная система векторов стала линейно независимой.
Вариант 10. , , .
Решение:
проверим, является ли система векторов линейно независимой, т.е.:
, получим систему:
- однородная система линейных алгебраических уравнений из трех уравнений с тремя неизвестными, которая имеет единственное нулевое решение только в случае если ее определитель отличен от нуля:
, следовательно,
и система векторов линейно независимая.
Найдем координаты вектора Х в базисе :
пусть вектор Х в базисе имеет координаты , тогда , т.е. имеем систему уравнений:
, т.е.
.


Задача 2. Два стрелка сделали по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна , для второго - . В мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что она появилась в результате выстрела первого стрелка.
Вариант 5. ; .
Решение:
т.к. попадание в мишень стрелков независимые случайные величины и событие, состоящее в том, что в мишени оказалась одна пробоина в результате выстрела первого стрелка, означает, что первый стрелок попал, а второй промахнулся, и вероятность этого события:
.
Ответ: 0,1225.

Задание №1. Элементы математической логики. Множества и отношения. Элементы теории графов.
Задача 1. Доказать логический закон, используя таблицы истинности:
Вариант 4.-(X^Y)-Xv-Y.
Задача 5. Пусть S(x,y,z) и П(x,y,z) - соответственно предикаты сложения ( z является суммой x и y ) и умножения ( z является произведением x и y ), рассматриваемые на множестве Z всех целых чисел и на множестве целых неотрицательных чисел. Какой смысл имеют следующие формулы и на каком множестве (Z или N0 ) они истинны?
Вариант 8.для любого y существует x S(x,y,-5).
Задача 7. Начертить диаграмму Венна, иллюстрирующую построение следующих множеств:
Вариант 10.(Xпересеч.Y)U(Xпересеч.Z).
Задание №2. Матрицы и определители. Линейные векторные пространства.
Задача 5. Записать систему уравнений в матричном виде и решить ее как матричное уравнение.
Вариант 8. -2x1+x2=3,
x1+5x2=-12.
Задача 7. Если система векторов a1,a2,a3 является линейно независимой, то выразить вектор x в базисе a1,a2,a3. Если система векторов является линейно зависимой, то определить, какой из них надо заменить на вектор x=(3 0 1)
чтобы полученная система векторов стала линейно независимой.

Вариант 10. a1=(1 3 0), a2=(4 0 1), a3=(1 1 0).
Задача 10. Найти косинус угла между векторами и , принадлежащими трехмерному евклидову пространству с ортонормированным базисом.
Вариант 3. x=(1 4 0), y=(-1 -3 -2).
Задание №3. Дифференцируемые функции. Первообразная и интеграл. Дифференциальные уравнения.
Задача 3. Исследовать функции и построить их графики.
Схема исследования:
1. Найти область определения функции; определить четная она или нечетная;
2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат;
3. Найти асимптоты функции;
4. Найти точки локальных экстремумов функции;
5. Найти критические точки функции;
6. С помощью вспомогательного рисунка исследовать знаки первой и второй производных. Определить участки возрастания и убывания функции, найти направления выпуклости графика, точки экстремума, точки перегиба;
7. Построить график функции, учитывая результаты исследования.
Вариант 6. y= 5x/(2x^2-4).
Задача 5. Написать уравнения касательной и нормали к следующим кривым на плоскости.
Вариант 8. x^2-y^2=1 в точке (2;3^0.5).
Задача 7. Найти неопределенные интегралы.
Вариант 10. S(x^5-2x+1)/(x^2+1)dx.
Задание №4. Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики.
Задача 2. Два стрелка сделали по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна p1 , для второго - p2 . В мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что она появилась в результате выстрела первого стрелка.
Вариант 5. p1=0.35 ; p2=0.65.
Задача 4. Какие из указанных функций являются функциями распределения случайных величин? Пояснить. Построить графики.
Вариант 7.
0,x

нет