Оптимизация с использованием модели транспортной задачи.

Введение В настоящее время задачи, стоящие в народном хозяйстве  планирование производства, обслуживания, транспортных перевозок и т.п., являются очень сложными и объемными. Каждая такая задача имеет множество параметров, от которых зависит эффективность тех или иных операций. Если еще в начале двадцатого века задачи производственного планирования можно было решить методом перебора вариантов, то сейчас это невозможно. Поэтому и возникла дисциплина, получившая название “Системный анализ и исследование операций”. Под исследованием операций понимается применение количественных математических методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Исследование операций начинается в том случае, когда для принятия количественного решения применяются математические методы. В настоящей работе производится решение комплекса типовых оптимизационных задач, стоящих перед руководителем предприятия или его подразделения. Это задача о наиболее выгодном распределении ресурсов, выпуске и транспортировке продукции, задача о назначениях, задача линейного программирования и задача с использованием системы массового обслуживания. 1 Оптимизация с использованием модели транспортной задачи 1.1 Математическая модель задачи Математическая модель задачи представляет собой следующее. Необходимо доставить от заводов i некоторый однородный товар в объеме Аi единиц потребителям j с минимальными транспортными издержками. Потребность каждого потребителя в товаре составляет Вj единиц. Известны также сij – величины стоимости перевозки единицы груза от i – того завода к j – потребителю. Т.к. , то мы имеем транспортную задачу открытого типа. Введем переменные xij=Аij, обозначающие количество единиц груза, перевозимого от i-го завода j-му потребителю. Такие переменные должны удовлетворять следующим условиям: 1. ограничение по запасам: j=1n xij = Ai; (1.1.1) 2. ограничение по потребностям: i=1m xij = Bj; (1.1.2) 3. условия неотрицательности: xij0(i=1..m; j=1..n). (1.1.3) Суммарные транспортные затраты на перевозки определяются следующей формулой: L =i=1m j=1n cijxij (1.1.4) Таким образом, математически транспортная задача представляется так. Найти m.n переменных xij, удовлетворяющих системам уравнений (1.1.1) и (1.1.2), и условиям неотрицательности (1.1.3), для которых целевая функция (1.1.4) принимает минимальное значение. 1.2 Выбор и описание метода решения Прежде чем приступить к решению задачи необходимо построить исходный опорный план. Для этого воспользуемся методом минимальной стоимости. В таблице из всех значений выбираем наименьшее и в клетку (i,j) с наименьшей стоимостью записываем меньшее из чисел Аi и Bj (объемы поставок и потребностей соответственно). Исключаем из рассмотрения строку i, если запас Аi вывезен полностью, или столбец j, если потребность Bj полностью удовлетворена. Среди остальных стоимостей снова выбираем наименьшую и заполняем соответствующую клетку таблицы. Таким же образом продолжаем заполнять клетки таблицы, пока не будет найдено опорное решение. Для решения воспользуемся методом потенциалов. Теорема: Решение транспортной задачи будет оптимальным, если найдутся такие числа и , называемые соответственно потенциалами поставщиков и потребителей, которые будут удовлетворять условиям: + =сij для ; (1.2.1) + <=сij для ; (1.2.2) где сij – стоимость перевозки от i –того поставщика к j – тому потредителю. - объем перевозки груза. Алгоритм решения. 1. находится первый опорный план методом минимальных стоимостей. 2. проверяется найденный опорный план на оптимальность для чего: находятся потенциалы поставщиков ui и потребителей vj по формуле (1.2.1) проверяется, выполнено ли условие (1.2.2) (или sij = cij – (ui + vj)>=0). если для всех клеток это условие выполнено, то опорный план является оптимальным (решение завершено). Если же для некоторых свободных клеток sij < 0, то клетка с наименьшим значением sij является ерспективной и выполняется следующий пункт алгоритма. К перспективной клетке сроится цикл, расставляются знаки по циклу, при этом в перспективную клетку ставится +, а остальные знаки в вершинах цикла чередуются, и определяется величина перераспределения груза Qij = min xij, где xij – объем перевозки груза, записанный в клетках (вершинах) цикла таблицы, отмеченных знаком минус. осуществляется перераспределение груза по циклу на величину Q. В результате выполнения этого пункта будет получен новый опорный план, которй проверяется на оптимальность, т.е. производится переход к пункту 2.1 алгоритма. После перераспределения потенциалы пересчитываются. 1.3 Оптимизация решения вручную

СОДЕРЖАНИЕ:

Введение.........
1 Оптимизация с использованием модели транспортной задачи .............
1.1 Математическая модель задачи...............
1.2 Выбор и описания метода решения...........
1.3 Оптимизация решения вручную................
1.4 Оптимизация решения с использованием средств Microsoft Excel
2. Задача о назначениях.
2.1. Математическая модель задачи .
2.2. Выбор и описания метода решения...........
2.3. Оптимизация решения вручную................
2.4. Оптимизация решения с использованием средств Microsoft Excel .
2.5. Оценка эффективности оптимального решения .
3. Общая задача линейного программирования ....
3.1. Математическая модель задачи..
3.2. Выбор и описание метода решения...
3.3. Оптимизация решения вручную.
3.4 Оптимизация решения с использованием средств Microsoft Excel ....
3.5 Оценка эффективности оптимального решения ...
4. Использование методов теории массового обслуживания
4.1. Описание объекта и математическая модель задачи ..
4.2. Выбор и описание метода решения .
4.3. Решение задачи и его интерпретация.
4.4. Оценка эффективности оптимального решения ..
Заключение .
Литература .

Литература:

1. Экономико-математические методы и модели для руководителя. Под ред.
Сергеева - М.: «Экономика»,1984.
2. Кузнецов А.В., Холодов Н.И. Математическое программирование. Мн.: Выш. Шк., 1984 256 с.
3. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холодов Н.И. Высшая математика: Математическое программирование. Мн.: Выш. Шк., 1994 350 с.
4. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965 323 с.
5. Системный анализ и исследование операций. Методические указания к курсовой работе для специальности 1-53.01.02.ПЗ - Автоматизированные истемы обработки информации.  Могилев: ММИ, 1996.  30 с.
6. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. «Финансы и статистика», 1998 г.
7. Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко. Введение в теорию массового обслуживания. М., 1987.
8. Т. Л. Саати. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения: Пер. с англ. /Под. ред. И. Н. Коваленко, изд-ие 2. М., 1971.