Отраслевая балансовая модель.

Формулировка математической модели.
Вводится понятие коэффициентов прямых материальных затрат (техно-логических коэффициентов)
(5).
Поскольку продукция измеряется в стоимостных единицах, коэффици¬енты прямых затрат являются величинами безразмерными.
Теперь система балансовых соотношений (1) записывается в виде:
(6).
В матричной форме: , или (7),
где - единичная матрица.
Получили систему линейных уравнений, решив которую, можно ответить на вопрос: каковы будут объемы выпуска отраслей , если при фиксиро-внной матрице коэффициентов прямых затрат


величины конечного потребления изменятся на (вектор конечного потребления ).

5. Алгоритм решения.
Полученная система линейных уравнений может решаться точными или приближенными методами. Из (7) следует аналитическое решение
(8),
где - матрица, обратная к матрице .
Матрица есть матрица полных материальных затрат. Коэф-фициент этой матрицы показывает, сколько необходимо выпустить продук-ции отрасли для того, чтобы обеспечить производство единицы конечного продукта отрасли .
Не для любой матрицы при заданном векторе можно получить решение, удовлетворяющее условию положительности, . Справедлива теорема: для того чтобы линейная модель межотраслевого баланса имела решение при любом неотрицательном , необходимо и достаточно, что-бы матрица прямых затрат была продуктивной. Это решение единственно.
Продуктивность означает, что существует хотя бы один вектор та-кой, что , или в преобразованном виде .
Матрица прямых затрат , полученная по таблице межотраслевого ба-ланса, будет продуктивной. Межотраслевой баланс это отражение фактически сложившегося равенства (7): , откуда следует, что существует вектор такой, что .
Можно строго доказать, что из продуктивности матрицы следует, что обратную матрицу можно приближенно вычислить, используя разложение в бесконечный матричный ряд:
(9).
Из (8) следует:
(10).
Рассмотрим, как формула (10) получается как результат некоторого гипо-тетического процесса последовательного уточне¬ния промежуточной продук-ции, необходимой для создания заданного конечного продукта.
Вектор конечной продукции, которую должна произвести эконо¬мическая система, равен . Считаем, что это и есть первоначальное задание отраслям: . Для выполнения собственного задания каждая отрасль нуждается в про-дукции других отраслей. Если бы все отрасли подсчитали потребности, то ока-залось бы, что суммарная потребность составляет . Вектор можно рассматривать как промежуточную продукцию, необходимую для про-изводства . Но под обеспечение производства тоже нужна проме¬жуточная продукция: . Рассуждая так и далее, приходим к выводу, что
(11).

Итак, полные затраты можно разложить на пряую и косвенную составля¬ющие. Прямые затраты осуществляются непосредственно при производстве данного продукта, а косвенные относятся к предшествую¬щим стадиям производства. Они осуществляются не прямо, а через посред¬ство дру-гих ингредиентов, входящих в данный продукт. Элементы матрицы пред-ставляют собой косвенные затраты первого порядка, элементы матрицы - косвенные затраты второго порядка и т. д.
Из (11) следует итерационная формула метода Якоби:
( ).
Модификацией метода Якоби является метод Зейделя. Уравнения метода Зейделя:

В матричном виде ,
где матрицы и получаются обнулением элементов матрицы , стоящих на главной диагонали и выше, и ниже главной диагонали соответственно.
Для матрицы 4-го порядка
, .
Установлено, что методы Якоби и Зейделя сходятся при условии продук-тивности матрицы . Обычно метод Зейделя сходится быстрее.
Итерационный процесс заканчивается по условию:
, где - заданное число.
Можно вместо вектора конечного потребления рассматривать его при-ращение , а вместо вектора валового выпуска - его приращение . Тогда система уравнений примет вид
( ) (12).

Содержание.

Задание 2

Введение 2

1. Определение экономического объекта исследования и целей исследования 3

2. Формулировка экономической модели 3

3. Описание свойств среды 7

4. Формулировка математической модели 9

5. Алгоритм решения 10

6. Реализация модели средствами MathCAD 14

7. Результаты расчетов и их анализ 15

Заключение 16

Литература 17

Задание.
Таблица межотраслевого баланса.

№ Отрасли потребления Конечная про-дукция
Отрасли производ-ства 1
bi1 2
bi2 3
bi3 4
bi4 Y
Отрасль 1 bi1 45 304 0 67 100
Отрасль 2 bi2 67 444 275 86 26
Отрасль 3 bi3 88 289 553 93 54
Отрасль 4 bi4 32 208 501 33 39
K = (0,0,10,20).

Задана таблица межотраслевого баланса. Известно, что потребление выпускае-мой продукции изменится на величины элементов вектора . Вычислить объе-мы отраслевого производства с учетом изменения потребности в продукции от-раслей.

Введение.
Эффективная экономика предполагает наличие баланса между отдельны-ми отраслями. Каждая отрасль выступает как производитель некоторой про-дукции, а с другой стороны как потребитель продукции других отраслей. Ба-ланс состоит в том, что все затраты должны компенсироваться доходами хозяй-ства.
В основе создания балансовых моделей экономики лежит балансовый ме-тод: взаимное сопоставление имеющихся ресурсов и потребностей в них. Меж-отраслевой баланс отражает производство и распределение валового нацио-нального продукта, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода; это метод анализа взаимосвязей между разными секторами экономиче-ской системы. Балансовые экономико-математические модели предназначены для анализа и планирования производства и распределения про¬дукции на раз-личных уровнях от отдельного предприятия до народного хозяйства в целом.
Межотраслевой баланс базируется на использовании статистических таблиц.
Наиболее простым, важным и часто используемым вариантом модели межотраслевого баланса является модель Леонтьева, получившая название "за-траты-выпуск". Целью построения модели Леонтьева является анализ перетока товаров между отраслями экономики, обеспечивающего такое функционирова-ние производственного сектора, когда объем выпуска соответствует суммарно-му (т.е. производственному и конечному) спросу на товары. Поэтому экономи-ка рассматривается в разукрупненном до уровня отраслей виде.
Далее рассматривается экономико-математическая модель межотраслево-го баланса "затраты-выпуск". Решается задача определения объемов отрасле-вого производства, необходимых для удовлетворения заданной потребности в продукции.

1. Определение экономического объекта исследования и целей исследова-ния.
Экономический объект исследования система экономических объектов (отраслей) , каждая из которых выпускает некоторый продукт, часть его по-требляется другими объектами системы, а другая часть выводится за пределы системы в качестве ее конечного продукта.
Цель исследования определить, сколько продукции должна произвести каждая отрасль для того, чтобы удовлетворить все производственные (проме-жуточные) и конечные потребности системы в ее продукции с учетом измене-ния конечной потребности.

2. Формулировка экономической модели.

Для построения модели вводятся условия:
1. Вся экономика разбита на отраслей материального производства и в ней продаются, потребляются и инвестируются продуктов, т.е. каждая от-расль выпускает продукт, причем разные отрасли выпускают разные продукты. Часть этого продукта потребляется другими отраслями (промежуточный про-дукт), а другая часть идет на конечное потребление и накопление (конечный продукт).
2. Отрасли являются "чистыми", т.е. это условные отрасли, объединяю-щие все производство данного продукта.
3. Под производственным процессом в каждой отрасли понимается пре-образование некоторых (возможно всех) типов продуктов в определенный про-дукт. Соотношение затраченных и выпускаемого продуктов предполагается по-стоянным, независимым от масштабов производства. Сложившаяся технология не меняется в течении рассматриваемого периода времени.
4. Каждая отрасль способна произвести любой объем своей продукции при условии, что ей будут обеспечены продукты других отраслей в требуемых количествах (ограничения по объему трудовых ресурсов и основных фодов не учитываются).
5. Вектор спроса на товары считается заданным, т.е. в модели отсутству-ют оптимизационные задачи потребителей; вектор выпуска товаров вычисляет-ся, исходя из спроса, т.е. отсутствуют оптимизационные задачи отраслей.
6. Баланс понимается как строгое равенство спроса и предложения.
Данная модель по общепринятой классификации является:
- макроэкономической, так как рассматривается экономика в масштабах народного хозяйства страны;
- детерминированной, так как выходные переменные модели (отраслевой выпуск) полностью обусловлены значениями входных переменных (конечный спрос);
- линейной, так как зависимости между переменными линейные (система линейных уравнений);
- статической, так как все зависимости относятся к одному моменту вре-мени;
- нормативной, так как модель отвечает на вопрос: что нужно сделать, чтобы получить требуемый результат;
- балансовой, так как основывается на соблюдении баланса выпуска и по-требления.
Эмпирическая база модели статистическая таблица "затраты-выпуск".

1 2 n Y Х
1 b11 b12 b1n y1 x1
2 b21 b22 b2n y2 x2

n bn1 bn2



V v 1 v2

Х x1 x2 . . .


Обозначения:
( ) общий объем продукции отрасли за данный период времени, т.е. валовой выпуск отрасли;
- объем продукции отрасли , расходуемый отраслью в процессе произ-водства;
- объем продукции отрасли , предназначенный для конечного потребления;
- условно-чистая продукция отрасли, включающая амортизационные отчис-ления и вновь созданную стоимость (заработную плату и прибыль).
Объемы продукции в денежном выражении.
Каждая отрасль дважды фигурирует в балансе: как производящая и как потребляющая. Отрасли как производителю продукции соответ¬ствует опреде-ленная строка, а отрасли как потребителю про¬дукции определенный стол-бец.
В таблице можно выделить четыре раздела (квадранта).
Квадрант I перечень "чистых" отраслей по строкам и столбцам. Харак-теризует материальные издержки на производство продукции.
Квадрант II столбец конечной продукции , которая вышла из сферы производства и попала в сферу потребления.
Квадрант III строка условно-чистой продукции. Характеризует доход экономической системы как стоимость условно-чистой продукции.
Квадрант IV отражает конечное распределение и использование дохода. Он находится на пересечении столбцов конечной продукции и строк дохода.
Каждая строка таблицы характеризуется следующим балансом:
Выпуск отрасли = Промежуточный спрос + Конечный спрос.
Математическое выражение этого тождества:
(1).
Каждый столбец таблицы характеризуется следующим балансом:
Расходы отрасли = Промежуточные затраты + Добавленная стоимость.
Математическое выражение этого тождества:
(2).
Для строк и столбцов таблицы соблюдаются тождества:
Выпуск отрасли = Расходы отрасли,
(3);
Общая сумма конечного спроса = общая сумма добавленной стоимости,
(4).
Таблица межотраслевого баланса всего лишь форма представления ста-тистической информации о взаимосвязи отраслей. Для решения задачи опреде-ления валового выпуска отраслей при заданном объеме конечного потребления нужно получить математическую модель систему уравнений.
В задаче дана таблица межотраслевого баланса для экономики, состоящей из 4-х отраслей:

1 2 3 4 Y Х
1 45 304 0 67 100

2 67 444 275 86 26

3 88 289 553 93 54

4 32 208 501 33 39

V
Х





По формулам (1), валовый выпуск отраслей равен
ед.,
ед.,
ед.,
ед.

3. Описание свойств среды.
Любая экономическая система (национальная экономика или экономика региона) является частью более общей социально-экономической системы и испытывает воздействия среды, в которой функционирует. Эти воздействия приводят к изменению параметров экономико-математической модели. Так, развитие техники изменяет технологию производства. Изменение социально-экономической ситуации приводит к изменению спроса на все или отдельные виды продукции.
Неизвестные факторы, случайные воздействия среды на параметры моде-ли в детерминированных моделях, к которым относится модель межотраслево-го баланса, не учитываются. Воздействия среды в виде ограничений по трудо-вым ресурсам и финансовым затратам также не учитываются.
Технология в течение ряда лет практически не меняется и в модели счи-тается неизменной.
Входные (экзогенные) переменные модели вектор конечного потребле-ния . Эти переменные определяются вне модели как желаемый резуль-тат управляющего воздействия.
В задаче известно, что вектор изменится на величины .
Выходные (эндогенные) переменные модели вектор валового выпуска .
Параметры модели матрица технологических коэффициентов , где коэффициент показывает, какое количество i-го про-дукта затрачивается на производство единицы j-го продукта.
Из экономического смысла модели следует, что все компоненты векторов , и технологической матрицы должны быть неотрицательны.
Начальное состояние среды, определяющее параметры модели, отражает-ся в описанной статистической таблице межотраслевого баланса.
В данной задаче
, ,
, .
.

4. Формулировка математической модели.
Вводится понятие коэффициентов прямых материальных затрат (техно-логических коэффициентов)
(5).
Поскольку продукция измеряется в стоимостных единицах, коэффици¬енты прямых затрат являются величинами безразмерными.
Теперь система балансовых соотношений (1) записывается в виде:
(6).
В матричной форме: , или (7),
где - единичная матрица.
Получили систему линейных уравнений, решив которую, можно ответить на вопрос: каковы будут объемы выпуска отраслей , если при фиксиро-ванной матрице коэффициентов прямых затрат


величины конечного потребления изменятся на (вектор конечного потребления ).

Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов.- М., 2002.
2. Федосеев В.В. и др. Экономико-математические методы и прикладные моде-ли. Учебное пособие для вузов, 2002.
3. Высшая математика для экономистов. Учебное пособие для вузов. Под ред. Н.Ш. Кремера.- М., 1997.
4. Самарский А. и др. Численные методы. Учебник для вузов.- М., 1989.