Практические задания по эконометрике..

Задание 9. Администрация страховой компании приняла решение о введении нового вида услуг страхование на случай пожара. С целью определения тарифов по выборке из 10 случаев пожаров анализируется зависимость стоимости ущерба, нанесенного пожаром от расстояния до ближайшей пожарной станции:

№ п/п 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Общая сумма ущерба, млн.руб. 26,2 17,8 31,3 23,1 27,5 36,0 14,1 22,3 19,6 31,3

Расстояние до ближайшей станции, км 3,4 1,8 4,6 2,3 3,1 5,5 0,7 3,0 2,6 4,3

9.1. Построить диаграмму рассеяния результирующей величины (общая сумма ущерба) и независимой переменной (расстояние до ближайшей станции)

9.2. Определить параметры а и b уравнения парной линейной регрессии.

9.3. Рассчитать линейный коэффициент корреляции.

9.4. Проверить статистическую значимость коэффициента регрессии «b» с помощью t-критерия Стьюдента

9.5. Оценить статистическую значимость построенной модели регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера





Решение.



1. Построим диаграмму рассеяния результирующей величины суммы ущерба.









2. Определим параметры уравнения парной линейной регрессии.





Применяем метод наименьших квадратов для минимизации функции



Рассматривая необходимое условие экстремума для функции S(a, b), получаем систему уравнений:





.



Отсюда получаем систему линейных уравнений для нахождения параметров а и b вида







Составим расчетную таблицу для вычисления коэффициентов.



№ п/п Общая сумма ущерба, Y

млн.руб. Расстояние до

ближайшей станции, X, км X² X∙Y

1. 26,2 3,4 11,56 89,08

2. 17,8 1,8 3,24 32,04

3. 31,3 4,6 21,16 143,98

4. 23,1 2,3 5,29 53,13

5. 27,5 3,1 9,61 85,25

6. 36 5,5 30,25 198

7. 14,1 0,7 0,49 9,87

8. 22,3 3 9 66,9

9. 19,6 2,6 6,76 50,96

10. 31,3 4,3 18,49 134,59

∑ 249,2 31,3 115,85 863,8



В последней строке содержатся суммы по столбцам.



Подставляя расчетные данные, получаем систему уравнений:







Уравнение модели имеет вид: y = 4,6868x + 10,25.





3. Найдем коэффициент корреляции по формуле:







Составим вспомогательную таблицу.



№ X Y X² X∙Y Y²

1 3,4 26,2 11,56 89,08 686,44

2 1,8 17,8 3,24 32,04 316,84

3 4,6 31,3 21,16 143,98 979,69

4 2,3 23,1 5,29 53,13 533,61

5 3,1 27,5 9,61 85,25 756,25

6 5,5 36 30,25 198 1296

7 0,7 14,1 0,49 9,87 198,81

8 3 22,3 9 66,9 497,29

9 2,6 19,6 6,76 50,96 384,16

10 4,3 31,3 18,49 134,59 979,69

∑ 31 249 115,85 863,8 6628,78



В последней строке суммы по столбцам.



Подставляем расчетные значения в формулу для коэффициента корреляции.







Таким образом, связь между переменными весьма тесная.



4.Проверим статистическую значимость коэффициента регрессии «b» с помощью t-критерия Стьюдента.



Выдвигается основная гипотеза H0 о статистически незначимом отличии полученных оценок от нуля. Определим критическое значение критерия. Для этого находим по таблице критических точек распределения Стьюдента значение







Определим случайные ошибки:







Составим расчетную таблицу.



№ X Y X² X∙Y Y² Yx Y-Yx (Y-Yx)²

1 3,4 26,2 11,56 89,08 686,44 26,18512 0,01488 0,000221

2 1,8 17,8 3,24 32,04 316,84 18,68624 -0,88624 0,785421

3 4,6 31,3 21,16 143,98 979,69 31,80928 -0,50928 0,259366

4 2,3 23,1 5,29 53,13 533,61 21,02964 2,07036 4,286391

5 3,1 27,5 9,61 85,25 756,25 24,77908 2,72092 7,403406

6 5,5 36 30,25 198 1296 36,0274 -0,0274 0,000751

7 0,7 14,1 0,49 9,87 198,81 13,53076 0,56924 0,324034

8 3 22,3 9 66,9 497,29 24,3104 -2,0104 4,041708

9 2,6 19,6 6,76 50,96 384,16 22,43568 -2,83568 8,041081

10 4,3 31,3 18,49 134,59 979,69 30,40324 0,89676 0,804178

∑ 31 249 115,85 863,8 6628,78 25,94656





Таким образом,









Расчетное значение критерия находим по формуле:









Коэффициент b не является статистически значимым, поскольку расчетное значение для этого параметра больше критического.



5. Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера ( ).



Определим фактическое значение F-критерия по формуле:







Критическое значение критерия определяем по таблице:







Поскольку табличное значение критерия меньше фактического, гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Задание 1. Предприятия района (номер предприятия Х) упорядочены по объему выпускаемой продукции. Показатель У характеризует численность управленческого персонала. Данные сведены в Таблицу. По данным таблицы рассчитайте методом наименьших квадратов коэффициенты линейной регрессии.

Таблица.



Х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

У 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3



X 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Y 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5





Задание 2. Рассчитайте, чему равны сумма квадратов, объясненная моделью ESS, если полная сумма квадратов TSS = 0.204705, а остаточная сумма квадратов RSS = 0.161231?

ESS=0.043474



Задание 3. Для данных Задания 1 рассчитайте коэффициент корреляции.



Задание 4. Мы получили оценку изменения зависимой переменной (предположим расходов) от независимых переменных (дохода и цен ) в виде:



как могут быть проинтерпретированы коэффициенты при независимых переменных?



Задание 5. Гауссовское распределение симметрично относительно нуля, и это предполагает, что положительные ошибки столь же вероятны, как и отрицательные; при этом, малые ошибки встречаются чаще, чем большие. Если случайная ошибка имеет гауссовское распределение с параметром , то с вероятностью ее значение будет заключено в пределах от до . В каких интервалах будет располагаться случайная ошибка при том же значении вероятности, если , , ?



Задание 6. Когда и на основании чего можно говорить (утверждать) о предпочтительности одностороннего критерия по сравнению с двухсторонним при использовании в качестве альтернативной гипотезы?



Всего 10 заданий.

1. Эконометрика. Под ред. Елисеевой.- М.:Финансы и статистика, 2004. - 344с.



2. Магнус Я.Р. и др. Эконометрика. Начальный курс. - М.:Дело, 2000. - 400с.