Практическое освоение методов решения задач по комбинаторике и теории вероятностей.

Задача 1. Сколькими способами можно разбить один рубль на монеты достоинством в 1,2,5,10,20,50 копеек?
Задача 2. На складе находятся 14+N2 деталей, из них 7 изготовлены на предприятии ЧП. Наудачу, взяли 5 деталей. Найти вероятность, что среди них 1+N4 детали изготовлены на ЧП? Значения: N2=1, N4=3.
Задача 3. Игральную кость бросили 2 раза. Найти вероятность, что сумма очков четна.
Задача 4. В строительной бригаде из 25 человек нужно назначить бригадира и его помощника. Сколькими способами это можно сделать?
Задача 5. В той же строительной бригаде из 25 человек нужно назначить еще и табельщицу. Сколькими способами можно назначить бригадира, его помощника и табельщицу?
Задача 6. В строительной бригаде 7 маляров, 5 штукатуров и 3 плотника. Сколькими способами можно составить бригаду из двух специалистов разного профиля?
Задача 7. Из 10 мальчиков и 10 девочек спортивного класса для участия в эстафете надо составить три команды, каждая из которых состоит из мальчика и девочки. Сколькими способами это можно сделать?
Задача 8. Команда из 15 спортсменов разбивается на пары для тренировки. Сколькими способами это можно сделать?
Задача 9. Группа из человек садится в поезд метрополитена, насчитывающий вагонов. Сколько существует всевозможных комбинаций погрузки?
Задача 10. Группа из человек садится в поезд метрополитена, насчитывающий вагонов. Сколько существует всевозможных комбинаций погрузки, если в вагон попадает не более одного человека?
Задача 11. В соревнованиях принимают участие 18 команд. Сколькими способами могут распределиться четыре первых места?
Задача 12. Сколькими способами можно 7 человек выстроить в очередь?
Задача 13. В бригаде из 25 человек нужно выделить пятерых для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?
Задача 14. Из города А в город ведут 5 доог, и из города в город С три дороги. Сколько путей, проходящих через , ведут из А в С?
Задача 15. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну - на правую так, чтобы выбранные перчатки были разных размеров?
Задача 16. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?
Задание 17. В купе железнодорожного вагона имеются два противоположных дивана по 5 мест на каждом. Из 10 пассажиров этого купе четверо желают сидеть лицом к паровозу, 3 спиной к паровозу, а остальным безразлично как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры с учетом их желаний?
Задача 18. В почтовом отделении продаются открытки десяти видов в неограниченном количестве. Сколькими способами можно купить 12 открыток?
Задача 19. В соревновании по гимнастике участвуют 10 человек практически одинаковых по степени мастерства. Трое судей должны независимо друг от друга перенумеровать их в порядке, отражающем их успехи в соревновании по мнению судей. Победителем считается тот, кого назовут первым хотя бы двое судей. В какой доле всех возможных случаев победитель будет определен?
Задача 20. В урне лежат 10 жетонов с числами 1,2,3,.... 10. Из нее, не выбирая, вынимают 3 жетона. Во скольких случаях сумма написанных на них чисел не меньше 9?
Задача 21. Человек имеет 6 друзей и в течении 20 дней приглашает к себе 3 из них так, что компания ни разу не повторяется. Сколькими способами может он это сделать?
Задача 22. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром 38 человек, с ветчиной 42 человека, и с сыром и с колбасой 28 человек, и с колбасой и с ветчиной 31 человек, и с сыром и с ветчиной 26 человек. Все три вида бутербродов взяли 25 человек, а несколько человек вместо бутербродов захватили с собой пирожки, Сколько человек взяли с собой пирожки?
Задача 23. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются четыре билета, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся четыре девушки.
Задача 24. В урне белых (б) и черных (ч) шаров. Из урны вынимают (одновременно или последовательно) два шара. Найти вероятность того, что этот оба шара будут белыми.
Задача 25. Контрольная работа по математике оценивается целым числом баллов, причем наибольшее число баллов равно 10. Вероятность, что студент получит за эту работу 10 баллов, равна 0,2; 9 баллов 0,3 и от 1 до 9 баллов включительно 0,7. Найти вероятность того, что студент получит ноль баллов.
Задача 26. Контролер проверяет изделия на соответствие стандарту. Известно, что вероятность соответствия стандарту изделий равна 0.9. Какова вероятность того, что из двух проверенных изделий оба будут стандартными, если события появления стандартных изделий независимы?
Задача 27. Литье в болванках для дальнейшей обработки поступает из двух цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго цеха. При этом материал 1ого цеха имеет 10% брака, а материал 2ого цеха 20% брака. Найти вероятность того, что одна, взятая наудачу болванка не имеет дефектов.
Задача 28. В турнире встречаются 10 шахматистов, имеющие одинаковые шансы на любой исход в каждой встрече (только одной для каждых двух участников). Найти вероятность того, что какойлибо один из участников проведет все встречи с выигрышем.
Задача 29. Вероятность появления события в отдельном испытании равна 0,75. Какова вероятность того, что при восьмикратном повторении испытание это событие появится более 6 раз?
Задача 30. Три товарища договорились встретиться. Первый из них никогда не опаздывает, но предупредил, что сможет прийти на встречу с вероятностью 0,9. Второй опаздывает с вероятностью 0,2, а третий обычно опаздывает с вероятностью 0,4. Какова вероятность того, что к назначенному сроку (без опоздания) встретятся хотя бы двое из троих друзей?
Задача 31. Из партии 4000 деталей на выборку проверены 500. При этом оказалось 3% нестандартных. Определить вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей партии отличается от их доли в выборке менее чем на 1%.
Задача 32. Вероятность появления события в каждом из 12 повторных, независимых испытаний P( )= =0,75. Определите среднее значение и дисперсию случайной величины числа появлений события в 12 независимых повторных испытаниях.
Задача 33. При каком числе независимых испытаний вероятность выполнения неравенства , где число появлений соытия в этих испытаниях, превысит 0,9, если вероятность появления события в отдельном испытании =0,7 ?
Задача 34. По итогам работы в предыдущем году из 1200 застраховавшихся в результате наступления страхового случая обратились 20 человек. Проверить гипотезу о том, что не менее 3% застраховавшихся в текущем году обратятся в компанию за выплатами.
Задача 35. Известно количество посетителей по дням недели:
понедельник 250,
вторник 300,
среда 350,
четверг 320,
пятница 310,
суббота 300.
Проверить гипотезу о том, что среднее число посетителей на наступающей неделе будет равно 310.

Приведены 39 задач по комбинаторике, теории вероятностей и матем. статистике. Все решения задач сопровождаются подробными объяснениями.

1. Виленкин Н.Я. Комбинаторика.-М.:Наука, 1969. -328с.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1975. - 333 с.