Решение уравнения Пуассона методом Галеркина с использованием гармонических вейвлетов.

Введение Вейвлетное преобразование сигналов является обобщением спектрального анализа, типичный представитель которого – классическое преобразование Фурье. Термин "вейвлет" (wavelet) в переводе с английского означает "маленькая (короткая) волна". Вейвлеты – это обобщенное название семейств математических функций определенной формы, которые локальны во времени и по частоте, и в которых все функции получаются из одной базовой (порождающей) посредством ее сдвигов и растяжений по оси времени. Вейвлет-преобразования рассматривают анализируемые временные функции в терминах колебаний, локализованных по времени и частоте. Как правило, вейвлет-преобразования (WT) подразделяют на дискретное (DWT) и непрерывное (CWT). DWT используется для преобразований и кодирования сигналов, CWT – для анализа сигналов. Вейвлет-преобразования в настоящее время принимаются на вооружение для огромного числа разнообразных применений, нередко заменяя обычное преобразование Фурье. Это наблюдается во многих областях, включая молекулярную динамику, квантовую механику, астрофизику, геофизику, оптику, компьютерную графику и обработку изображений, анализ ДНК, исследования белков, исследования климата, общую обработку сигналов и распознавание речи. Вейвлетный анализ представляет собой особый тип линейного преобразования сигналов и физических данных. Базис собственных функций, по которому проводится вейвлетное разложение сигналов, обладает многими специфическими свойствами и возможностями. Вейвлет-ные функции базиса позволяют сконцентрировать внимание на тех или иных локальных особенностях анализируемых процессов, которые не могут быть выявлены с помощью традиционных преобразований Фурье и Лапласа. К таким процессам в геофизике относятся поля различных физических параметров природных сред. В первую очередь это касается полей температуры, давления, профилей сейсмических трасс и других физических величин. Вейвлеты имеют вид коротких волновых пакетов с нулевым средним значением, локализованных по оси аргументов (независимых переменных), инвариантных к сдвигу и линейных к операции масштабирования (сжатия/растяжения). По локализации во временном и частотном представлении вейвлеты занимают промежуточное положение между гармоническими функциями, локализованными по частоте, и функцией Дирака, локализованной во времени.

Введение 2 1. Кратномасштабный анализ. Применение гармонических вейвлет в решении ДУ 5 2. Постановка задачи 12 3. Метод решения 13 4. Результаты расчетов и визуализация решения при моделировании различных задач 14 4.1. Сравнение эффективности метода 14 Заключение 15 Список литературы 17

1. Strang G., Nguyen T. Wavelets and Filters Banks. - Wellesley-Cambridge-Press 1996. - 490 p. 2. Добеши И., Десять лекций по вейвелетам.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 464 с. 3. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. - СПб.: Изд-во СПбГТУ. - 1999. - 132 с. 4. Воробьев В.И., Грибунин В.Г.Теория и практика вейвлет-преобразования.-СПб.:Изд-во ВУС, 1999, 208 с. 5. Геппенер В.В., Ланне А.А., Черниченко Д.А. МАТЛАБ для DSP. Использование GUI WAVEMENU для решения инженерных задач. Часть 1 //Chip News, № 6, 2000, с. 2-8. 6. Геппенер В.В., Ланне А.А., Черниченко Д.А. МАТЛАБ для DSP. Использование GUI WAVEMENU для решения инженерных задач. Часть 2 //Chip News, № 7, 2000, с. 6-11. 7. Michel Misiti, Yves Misiti, Georges Oppenheim, Jean-Michel Poggi. Wavelet Toolbox for use with Matlab (User's Guide, version 1). - 626 p. 8. Потемкин В.Г. MATLAB 5 для студентов /Диалог-МИФИ. - 1999. - 447 с.