СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.

3. Формулы Крамера
Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (3), т.е. определитель матрицы А
D = det (ai j)
и n вспомогательных определителей D i (i= ), которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.
Формулы Крамера имеют вид:
D × x i = D i ( i = ). (4)
Из (4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
x i = D i / D.
Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители D i = 0 (i= ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы D = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.
Пример 4. Решить методом Крамера систему уравнений:
x1 + x2 + x3 + x4 = 5,
x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = -2,
2x1 - 3x2 - x3 - 5x4 = -2,
3x1 + x2 +2x3 + 11 x4 = 0.
Решение. Главный определитель этой системы

Содержание


1. Критерий совместности Кронекера-Капелли 3
2. Метод Гаусса 6
3. Формулы Крамера 7
4. Матричный метод 9
5. Системы линейных уравнений общего вида 10
Список литературы 13













1. Критерий совместности Кронекера-Капелли
Система линейных уравнений имеет вид [1]:
a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1,
a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = b2, (1)
... ... ... ...
am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = bm.
Здесь аi j и bi (i = ; j = ) - заданные, а xj - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (1) в виде: AX = B, (2)
где A = (аi j) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x1, x2,..., xn)T,
B = (b1, b2,..., bm)T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных xj и из свободных членов bi.
Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1, c2,..., cn) называется решением системы (1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x1, x2,..., xn каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество [2]; другими словами, если существует вектор C= (c1, c2,..., cn)T такой, что AC = B.
Система (1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.
Матрица образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.
,
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и`A совпадают, т.е.
r(A) = r(`A) = r. [3]
Для множества М решений системы (1) имеются три возможности:
1) M = Æ (в этом случае система несовместна);
2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);
3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (1) имеет бесчисленное множество решений.
Система имеет единственное решение только в том случае, когда
r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (m³n); если m>n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0

1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. 6-е изд., стер. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 280 с.
2. Введение в алгебру. Кн.1. Основы алгебры, Кострикин А.И., ФИЗМАТЛИТ, 2004
3. Введение в алгебру. Кн.2 Линейная алгебра, Кострикин А.И., ФИЗМАТЛИТ, 2004