Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной .

ЗАДАНИЕ 9. Исследовать функции методами дифференциального исчисления и на основании результатов исследования построить их графики. 9.1. а) ; б) . 9.8. а) ; б) . Решение: 9.1. а) 1) Область определения: , т.к. знаменатель ; 2) Четность/нечетность. Периодичность. функция общего вида. Функция непериодическая. 3) Точки пересечения с осями координат: с осью Ох: , т.е. точка ; с осью Оу: т.к. , то график функции с осью Оу не пересекается. 4) Непрерывность. Асимптоты. Функция непрерывна на . Исследуем функцию в точке : , следовательно, в точке функция имеет разрыв второго рода и - вертикальная асимптота; наклонная асимптота: , , т.е. - наклонная асимптота; 5) Интервалы монотонности функции и ее точки экстремума. , т.к. , то - стационарная точка, тогда: следовательно, в на функция возрастает, а на - убывает. В точке локальный минимум, . 6) Интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки перегиба. , уравнение не имеет решений, т.е. точек возможного перегиба нет, причем кривая вогнутая на D(y). 7) Построение графика:

ЗАДАНИЕ 6. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя: 6.1 6.8 ЗАДАНИЕ 7. Найти производные данных функций. 7.1. 7.8. ЗАДАНИЕ 8. Найти производные dy/dx и d2y/dx2 для заданных функций: а) ; б) ; . ЗАДАНИЕ 9. Исследовать функции методами дифференциального исчисления и на основании результатов исследования построить их графики.

нет