Вычислительная математика.

Задание 1. Составьте таблицу значений функции на отрезке с шагом . В значениях функции сохраняйте три знака в дробной части. И вычисления потом ведите, сохраняя три знака в дробной части чисел. Используя квадратичную интерполяцию по полученной таблице, вы-числите значение функции в точке . Вычисления проведите двумя способами: 1) по формуле Лагранжа, 2) по формуле Ньютона. Сделайте рисунок, на котором изобразите точки таблицы. Решение. Таблица значений функции на отрезке , где , имеет вид: – 1 – 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 – 1,817 – 1,518 – 1 1,145 1,587 1,866 2,080 2,257 2,410 2,546 2,668 1) Проведем вычисление по формуле Лагранжа. Интерполяционная формула Лагранжа имеет вид . (1) В нашем случае . Вычисления для удобства будем проводить в расчетной таблице. 0 – 1 – 1,817 3,13 – 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 1 – 0,5 – 1,518 2,63 – 0,5 – 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 2 0 – 1 2,13 – 1 – 0,5 – 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 3 0,5 1,145 1,63 – 1,5 – 1 – 0,5 – 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 1 1,587 1,13 – 2 – 1,5 – 1 – 0,5 – 0,5 1 1,5 2 2,5 3 5 1,5 1,866 0,63 – 2,5 – 2 – 1,5 – 1 – 0,5 – 0,5 1 1,5 2 2,5 6 2 2,080 0,13 – 3 – 2,5 – 2 – 1,5 – 1 – 0,5 – 0,5 1 1,5 2 7 2,5 2,257 – 0,37 – 3,5 – 3 – 2,5 – 2 – 1,5 – 1 – 0,5 – 0,5 1 1,5 8 3 2,410 – 0,87 – 4 – 3,5 – 3 – 2,5 – 2 – 1,5 – 1 – 0,5 – 0,5 1 9 3,5 2,546 – 1,37 – 4,5 – 4 – 3,5 – 3 – 2,5 – 2 – 1,5 – 1 – 0,5 – 0,5 10 4 2,668 – 1,87 – 5 – 4,5 – 4 – 3,5 – 3 – 2,5 – 2 – 1,5 – 1 – 0,5 –  0,697 3543,75 0,829 – 354,375 1,024 78,75 1,338 – 29,531 1,930 16,875 3,462 – 14,063 16,779 16,875 – 5,895 – 29,531 – 2,507 78,75 – 1,592 – 354,375 – 1,166 3543,75 В последней строке данной таблицы вычислены произведения формулы (1), первое произведение – это числитель дроби формулы (1), второе произведение – знаменатель этой формулы. Тогда -тые слагаемые формулы (1) равны ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . Таким образом, по формуле Лагранжа значение функции в точке будет равно: .

1. Составьте таблицу значений функции y=(5x-1)^(1/3) на отрезке [-1;4] с шагом h=0,5. В значениях функции сохраняйте три знака в дробной части. И вычисления потом ведите, сохраняя три знака в дробной части чисел. Используя квадратичную интерполяцию по полученной таблице, вычислите значение функции в точке x*=2,13. Вычисления проведите двумя способами: 1) по формуле Лагранжа, 2) по формуле Ньютона. Сделайте рисунок, на котором изобразите точки таблицы. 2. Выпишите таблицу значений функции из задачи 1. Найдите полином (многочлен) второй степени, аппроксимирующий эту таблицу. Найдите значение этого полинома в точке x*=2,13. Все вычисления выполняйте с тремя знаками в дробной части. Сделайте рисунок, на котором изобразите точки таблицы и график аппроксимирующего многочлена. Посчитайте значение величины m, оценивающей близость аппроксимационного многочлена к данной таблице. 3. Графически отделите корень и укажите приближенное значение корня данного уравнения e^(0,5*x)=7/(2*x). Это значение корня уточните до точности eps=0,001 двумя способами: Методом Ньютона и методом итераций. Все вычисления выполняйте с четырьмя знаками в дробной части. Если уравнение имеет более одного корня, то все, что нужно сделайте только с любым одним из корней. 4. Вычислите интеграл int(1;3)(5/(2+cosx)dx двумя способами: методом Симпсона (с n=10) и методом Гаусса (с n=5). Все вычисления выполняйте с пятью знаками в дробной части. 5. Решите численно методом Эйлера или методом Рунге-Кутта задачу Коши для дифференциального уравнения y`=1-4sin(10x)+2/(1+y) на отрезке [3;4], с шагом h=0,1 и начальным условием y(3)=-2. Все вычисления выполняйте с тремя знаками в дробной части. Изобразите график полученного решения.

Самарский А А., Гулин А В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.