Высшая математика Мат. логика и теория множеств.

Упражнение. Какие из перечисленных записей являются высказы¬ваниями? Какие из высказываний истинны, какие ложны? 1) 17; 2) 125+11=7140; 3) мотоцикл; 4) высокая гора; 5) вдоль дороги; 6) на бере¬гу Черного моря расположен город Сочи; 7) 7>5; 8) 21-7=14; 9) (812-213):20=30; 10) 358-(160+240); 11) 200=250.
Образец решения.
1) 17 не является высказыванием, т.к. это не повествовательное предложение, более того это слово.
2) Является высказыванием, т.к. относительно этого повествова¬тельного предложения можно говорить, что оно ложно. Это вы¬сказывание ложное.
4) Не является высказыванием. Это словосочетание.
6) Это высказывание, причем истинное, т.к. относительно этого повествовательного предложения можно говорить, что оно ис¬тинно.
10) Не является высказыванием, а представляет собой числовое выражение, в котором ничего не утверждается.
Оставшиеся примеры рассмотреть самостоятельно.
Решение:
3) мотоцикл не является высказыванием, т.к. это просто слово;
5) вдоль дороги не является высказыванием, т.к. это словосочетание;
7) 7>5 это высказывание, причем истинное, т.к. число семь действительно больше пяти;
8) 21-7=14 равенство, которое является высказыванием, причем истинное, т.к. данное равенство верно;
9) (812-213):20=30 равенство, которое является высказыванием, причем ложным, т.к. равенство не верно;
11) 200=250 равенство, которое является ложным высказыванием, т.к. не верно.

Задачи для самостоятельного решения.
1. Укажите среди следующих предложений высказывания: «Луна спутник Земли»; «Все учащиеся нашей группы любят математику»; «Принеси мне, пожалуйста, книгу»; «Некоторые люди в нашем городе имеют голубые глаза»; «Окружностью называется множество всех то¬чек плоскости, расстояние которых до данной точки этой плоскости имеет одинаковую величину»; «Вы были сегодня в театре?».
Решение:
«Луна спутник Земли» - высказывание, т.к. это повествовательное предложение относительно которого можно сказать, что оно истинно;
«Все учащиеся нашей группы любят математику» - высказывание, т.к. это повествовательное предложение относительно которого можно сказать, что истинно оно или ложно;
«Принеси мне, пожалуйста, книгу» - не является высказыванием, т.к. является побудительным предложением;
«Некоторые люди в нашем городе имеют голубые глаза» - высказывание, т.к. это повествовательное предложение относительно которого можно сказать, что истинно оно или ложно;
«Окружностью называется множество всех то¬чек плоскости, расстояние которых до данной точки этой плоскости имеет одинаковую величину» - истинное высказывание;
«Вы были сегодня в театре?» - не является высказыванием, т.к. данное предложение вопросительное и нельзя сказать истинно оно или ложно.


2. Установите, какие из предложений являются истин¬ными, а какие ложными высказываниями: а) число 2 меньше числа 0; b) частное от деления числа 7 на 5 равно 0; с) сумма чисел 5 и 3 равна 10; d) существует такое действительно число , что ; е) .
Придумайте по 3 истинных и ложных высказывания.
Решение:
а) число 2 меньше числа 0 истинное высказывание, т.к. действительно ;
b) частное от деления числа 7 на 5 равно 0 ложное высказывание, т.к. частное от деления: ;
с) сумма чисел 5 и 3 равна 10 ложное высказывание, т.к. 5+3=8;
d) существует такое действительно число , что - истинное высказывание, т.к. уравнение на множестве действительных чисел имеет решение ( );
е) - истинное высказывание, т.к. данное равенство верно.
Истинные высказывания:
1) 5>-10;
2) квадрат это прямоугольник, у которого две смежные стороны равны;
3) 456 делится на 3;
Ложные высказывания:
1) треугольник это многоугольник, у которого все стороны равны;
2) разность чисел 10 и 2 меньше 5;
3) уравнение не имеет корней.

3. Из учебников математики выписать несколько текстовых задач и определить, разбив их на предложения, являются ли эти предложе¬ния высказываниями. Определить истинность этих высказываний. Ус¬тановить, связаны ли высказывания союзами «и», «а», «но», «либо», «или», «если,то».
Решение:
1. Лыжник проходил каждый следующий виток круговой трассы на одно и то же время дольше, чем предыдущий. На второй и четвертый витки он затратил в сумме 3 мин. 20 с. За какое время лыжник прошел первые пять витков?
«Лыжник проходил каждый следующий виток круговой трассы на одно и то же время дольше, чем предыдущий» - высказывание простое истинное.
«На второй и четвертый витки он затратил в сумме 3 мин. 20 с.» - высказывание простое истинное.
«За какое время лыжник прошел первые пять витков?» - не является высказыванием, т.к. является вопросительным предложением.
2. Если запланированный биржей объем торгов на август увеличить втрое, то суммарный объем торгов в июле и в августе возрастет вдвое. Во сколько раз надо увеличить план на июль, оставив неизменным план на август, чтобы суммарный объем торгов возрос втрое?
«Если запланированный биржей объем торгов на август увеличить втрое, то суммарный объем торгов в июле и в августе возрастет вдвое» - высказывание сложное может быть как истинным, так и ложным.
«Во сколько раз надо увеличить план на июль, оставив неизменным план на август, чтобы суммарный объем торгов возрос втрое?» - не является высказыванием.
3. Вкладчик в начале года часть имевшихся у него денег положил в один банк под 60% годовых, а остальные деньги в другой банк под 40 % годовых. Через два года суммарное количество денег на обоих счетах удвоилось. Какую часть денег вкладчик положил в первый банк?
«Вкладчик в начале года часть имевшихся у него денег положил в один банк под 60% годовых, а остальные деньги в другой банк под 40 % годовых» - высказывание сложное истинное.
«Через два года суммарное количество денег на обоих счетах удвоилось» - высказывание простое истинное.
«Какую часть денег вкладчик положил в первый банк?» - не является высказыванием.

Тема 1. Понятия о высказываниях
Упражнение. Какие из перечисленных записей являются высказы¬ваниями? Какие из высказываний истинны, какие ложны? 1) 17; 2) 125+11=7140; 3) мотоцикл; 4) высокая гора; 5) вдоль дороги; 6) на бере¬гу Черного моря расположен город Сочи; 7) 7>5; 8) 21-7=14; 9) (812-213):20=30; 10) 358-(160+240); 11) 200=250.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Укажите среди следующих предложений высказывания: «Луна спутник Земли»; «Все учащиеся нашей группы любят математику»; «Принеси мне, пожалуйста, книгу»; «Некоторые люди в нашем городе имеют голубые глаза»; «Окружностью называется множество всех то¬чек плоскости, расстояние которых до данной точки этой плоскости имеет одинаковую величину»; «Вы были сегодня в театре?».
2.Установите, какие из предложений являются истин¬ными, а какие ложными высказываниями: а) число 2 меньше числа 0; b) частное от деления числа 7 на 5 равно 0; с) сумма чисел 5 и 3 равна 10; d) существует такое действительно число , что ; е) .
Придумайте по 3 истинных и ложных высказывания.
3. Из учебников математики выписать несколько текстовых задач и определить, разбив их на предложения, являются ли эти предложе¬ния высказываниями. Определить истинность этих высказываний. Ус¬тановить, связаны ли высказывания союзами «и», «а», «но», «либо», «или», «если,то».
4. Среди высказываний укажите сложные; вы¬делите в них простые, обозначив каждое из них буквой. Запишите с по¬мощью букв каждое сложное высказывание: а) На уроке математики учащиеся отвечали на вопросы учителя и писали самостоятельную ра¬боту; b) Мы пойдем кататься на коньках или на лыжах; с) Если в данном четырехугольнике диагонали имеют равную длину, то этот четырех¬угольник - ромб; d) -17 < 0.
Тема 2. Операции над высказываниями
1. Отрицание высказывания
Упражнение. Составить отрицание следующих высказываний
1) Москва столица России; 2) Город Санкт-Петербург расположен
на берегу Каспийского моря; 3) Гагарин первый в мире космонавт; 4)
Сумма чисел 40 и 20 равна 50; 5) Частное отделения 100 на 5 равно
20; 6) Разность чисел 5 и 3 равна 1.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Среди следующих высказываний найдите отрицание высказыва¬ния «Существуют ченые простые числа»:
а) существуют нечетные простые числа;
б) существуют четные составные числа;
в) любое простое число нечетно;
г) не существует четных простых чисел.
2. Постройте отрицания высказываний. Опре¬делите значение истинности этих высказываний и их отрицаний.
а) Число делитель числа ;
б) Автомобиль не имеет права ехать вперед на красный свет;
в) Существуют параллелограммы с прямыми углами;
г) Не существует натурального числа, делящегося на .
3. Определите, какие из предложений являются отрицаниями друг друга и какие нет; объясните почему:
а) ; ,
б) ; ,
в) прямоугольный; остроугольный,
г) натуральное число четно; натуральное число нечетно,
д) Иван мой друг; Иван мой враг,
е) все простые числа четны; все простые числа нечетны.
2. Конъюнкция высказываний
Задачи для самостоятельного решения
1. Составить 5 высказываний, которые являются конъюнкцией
двух и более высказываний. Разбить эти высказывания на простые вы¬сказывания и указать, как составлены конъюнкции этих высказываний.
2. Даны высказывания: А «Я купил велосипед», В «Я участвовал в соревнованиях по велоспорту». Сформулируйте высказывания, соответствующие следующим выражениям: а) б) ; в) ; г) .
3. Дизъюнкция высказываний
Упражнение. Доказать справедливость следующих законов
1) Законы поглощения (идемпотентности)
а) , b) .
2) Законы коммутативности
а) , b) .
3) Законы ассоциативности
а) , b) .
4) Законы дистрибутивности
a) ,
b) .
5) Законы де Моргана
а) ,
b) .
Задачи для самостоятельного решения.
1. Среди следующих сложных высказываний выделите дизъюнк¬ции и определите, ложны они или истинны:
a) Число 21 кратно 3 и 9;
b) 17......
Тема 3. Множества и высказывательные формы
Тема 4. Операции над высказывательными формами и мно-жествами
Тема 5. Элементы теории нечетких множеств
Тема 6. Операции над нечеткими множествами

нет