Задачи по планиметрии.

1(2). Как измеряется угол между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности? Хорда образует с касательной . Чему равен радиус окружности?

Решение:
Угол между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности измеряется половиной дуги, содержащейся внутри угла.
Хорда образует с касательной , найдем радиус окружности:

Рассмотрим треугольник АОС: , , угол - центральный, который равен дуге на которую опирается, т.е. , но т.к. угол между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности измеряется половиной дуги, содержащейся внутри угла, то , следовательно, и . Тогда по теореме косинусов для треугольника АОС можно записать:
, откуда
, следовательно, .
Ответ: .

2(2). Окружность вписана в треугольник АВС, касается сторон в точках K, L и М, угол С равен 52 . Чему равен угол KLM?

Решение:
рассмотрим касательные СВ и СА к данной окружности: по свойству касательных (касательные, т.е. их отрезки от данной точки до точки касания, проведенные из одной точки к окружности равны) получим , следовательно, треугольник СМК равнобедренный. У равнобедренного треугольника углы при основании равны, следовательно, . Далее, угол KLM является вписанным углом, а значит измеряется половиной дуги на которую опирается, т.е. .

Однако, т.к. угол между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности измеряется половиной дуги, содержащейся внутри угла, то угол между касательной и хордой : . Следовательно, .
Ответ: .

3(3). Как выражается длина хорды через радиус окружности R и величину вписанного угла , опирающегося на нее? Приведите доказательство.
Решение:

Доказательство:
рассмотрим окружность с центром в точке О, хорду АВ и вписанный угол АСВ .

Треугольник АОВ равнобедренный, т.к. , следовательно, для треугольника АОВ теорема косинусов запишется в виде:
или . Далее, - центральный, следовательно, равен дуге на которую опирается, т.е. . Рассмотрим теперь вписанный , он равен половине дуги на которую опирается, т.е. , откуда . Тогда . Следовательно,
, откуда получим: . Ч.т.д.

Задание №4 для 9-х классов
Контрольные вопросы
1(2). Как измеряется угол между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности? Хорда образует с касательной . Чему равен радиус окружности?
2(2). Окружность вписана в треугольник АВС, касается сторон в точках K, L и М, угол С равен 52 . Чему равен угол KLM?
3(3). Как выражается длина хорды через радиус окружности R и величину вписанного угла , опирающегося на нее? Приведите доказательство.
4(2). Даны окружность, касательная МА и секущая МС. Известно, что , и . Чему равны длины отрезков МА и МВ?
5(2). Могут ли отрезки секущих быть такими, как указано на рис.?
6(2). Две окружности внешне касаются в точке М. Через точку М проведены две прямые: одна пересекает окружности в точках А и В, другая в точках С и D. Верно ли что прямые АС и DВ параллельны?
7(3). Когда около четырехугольника можно описать окружность? Четырехугольник АВСD вписан в окружность, продолжения сторон АВ и DC, ВС и AD пересекаются в точках М и N соответственно. Известно, что углы М и N равны 45 и 25 . Чему равен угол МАN?
8(3). Когда в выпуклый четырехугольник можно вписать в окружность? а) Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается отрезка , параллельного АВ и равного 1/3 АВ. Чему равна длина стороны АВ, если периметр треугольника АВС равен 24?
б) В трапецию KLMN с основаниями KN и LM вписана окружность с центром в точке О. Чему равны углы KOL и MON?
9(3). В окружности радиуса R проведены две взаимно перпендикулярные хорды АВ и KM. Как доказать, что ?
10(6). Даны отрезки . Как с помощью циркуля и линейки построить отрезки (дайте краткое описание)
а) ; ; ;
б) Как построение отрезков ( ), , свести к применению каких-то построений из а)?
Задачи
1(4). Около окружности описан пятиугольник ABCDE, в котором . Найти дину стороны АЕ, если известно, что она выражается целым числом (свойство касательных см. реш. Задачи 1 Задания).
2(5). Через точку С, лежащую на диаметре АВ, под углом к нему проведена хорда MN, при этом МС = 3, CN = 8. Найти радиус окружности.
3(5). В со сторонами АВ = 4, ВС = 6, биссектриса BD = . На биссектрисе BD как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АВ и ВС в точке и соответственно.
Найти: а) длину стороны АС;
б) длины отрезков и (см. теорему 3 Задания)
4(5). В окружность радиуса 5 вписана трапеция АВСD, диагонали которой взаимно перпендикулярны и большее основание AD = 8.
Найти: а) меньшее основание;
б) боковую сторону.
5(6). Около окружности описана равнобокая трапеция ABCD. Окружность касается боковой стороны АВ в точке К. Прямая DK пересекает окружность в точке Р, при этом DP = 4 и KP = 5. Найти
а) длину большего основания AD;
б) косинус угла А;
в) радиус окружности.
6(5). Две окружности с центрами в точках и касаются внешне в точке А. Общая касательная, проходящая через точку А, пересекает общую внешнюю касательную MN в точке K. Радиусы данных окружностей равны 4 и 1. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник .
7(5). Через точку М проведены три прямые: одна касается данной окружности в точке А, другая - в точке В, а третья прямая пересекает окружность в точках С и D (МС>MD). Известно, что МС = 6 и sin(AMC)sin(BMC) = . Найти расстояние от точки С до прямой АВ (см. задачу 3 на стр.5 Задания)
8*. Доказать теорему Птолемея: если четырехугольник вписан в окружность, то имеет место равенство . Применить эту теорему к решению задачи: квадрат ABCD вписан в окружность; на дуге ВС взята некоторая точка М; найти отношение .
9(4). Дана окружность с центром в точке О. Из точки М, лежащей вне круга, провести секущую так, чтобы ее отрезок внутри круга был равен ее отрезку вне круга.
10(5). Даны две пересекающиеся окружности, даны их центры. Через точку пересечения окружностей провести прямую так, чтобы окружности высекали на ней две равные хорды (метод симметрии).
11(6). Дана прямая и две точки А и В по одну сторону от прямой. Провести через точки А и В окружность, касающуюся прямой.
12*. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О, основания трапеции AD и ВС (AD>BC). Около треугольника ВОС описана окружность. Касательная к окружности, проходящая через точку О, пересекает прямую AD в точке K (AK больше AD). Найти длину отрезка OK, если и .

нет