12 задач по высшей математике.

1) Длину ребра AB найдем как модуль вектора AB. Для этого сначала вычислим координаты указанного вектора: .
Тогда длина ребра B будет равна:



2) Косинус угла φ между ребрами АВ и AС:

Находим скалярное произведение этих векторов и их модули

Задача 1.
Условие задачи:
Даны четыре вектора в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Задача 2.
Условие задачи:
Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти ее решение с помощью правила Крамера; 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить используя матричное умножение; 3) решить методом Гаусса.

Задача 3.
Условие задачи:
Даны координаты вершин пирамиды. Найти: 1) длины ребер АВ и AC; 2) угол между ребрами АВ и АС; 3) площадь грани АВС; 4) объем пирамиды ABCD; 5) уравнение прямой АВ; 6) уравнение плоскости АВС; 7) уравнение высоты пирамиды, опущенной на грань АВС. Сделать чертеж.
A(3; 5; 4), B(5; 8; 3), C(1; 9; 9), D(6; 4; 8);
Задача 5.
Условие задачи:
Даны линии со своими уравнениями в полярной системе координат. Найти: 1) точки, лежащие на линии, придавая  значения через промежуток, равный /8, начиная от  = 0 и до  = 2; 2) построить линию, соединив полученные точки; 3) уравнение этой линии в прямоугольной декартовой системе координат.
 = 1/(2 + cos);
Задача 7.
Условие задачи:
Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления.
а)
б)
в)
г)
Задача 8.
Условие задачи:
Исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

Задача 9.
Условие задачи:
Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных.
1.
2.
3.
4.
Условие задачи:
Задача 10.
Задача 11.
Условие задачи:
Найти уравнение касательной и нормали к графику функции в указанной точке. Сделать чертеж.
х0=4
Задача 12.
Условие задачи:
Построить график функции , используя общую схему исследования функции.

-