12.51. Математический маятник длиной l = 0,5 м, выведенный из положения равновесия, отклонился при первом колебании на x1 = 5 см, а при втором (в ту же сто.

12.55. По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы в виде ряда углублений, находящихся на расстоянии l = 30 см друг от друга. По этой дороге покатили детскую коляску, имеющую две одинаковые рессоры, каждая из которых прогибается на х0 = 2 см под действием груза массой m0 = 1 кг. С какой скоростью v катили коляску, если от толчков на углублениях она, попав в резонанс, начала сильно раскачиваться? Масса коляски M = 10 кг.

Решение:
Коляска начнет сильно раскачиваться, если промежуток между двумя последовательными толчками на углублениях будет равен периоду собственных колебаний коляски, который можно найти по формуле Т = 2*π*(m/k)0,5. На каждую рессору приходится масса m = M/2 = 10 кг/2 = 5 кг.
Коэффициент упругости k = m1*g/х0 = 490 Н/м. Пдставляя числовые данные. получим Т = 0,63 с. Кроме того, Т = l/ν, откуда ν = l/Т = 0,48 м/с.

Ответ: Т = 0,63 с ; ν = 0,48 м/с.

12.51. Математический маятник длиной l = 0,5 м, выведенный из положения равновесия, отклонился при первом колебании на x1 = 5 см, а при втором (в ту же сторону) на х2 = 4 см. Найти время релаксации t, т. е. время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в е раз, где е основание натуральных логарифмов.

12.52. К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на ∆l = 9,8 см. Оттягивая этот груз вниз и отпуская его, заставляют груз совершать колебания. Каким должен быть коэффициент затухания χ, чтобы: а) колебания прекратились через время t = 10 с (считать условно, что колебания прекратились, если их амплитуда упала до 1% от начальной; б) груз возвращался в положение равновесия апериодически; в) логарифмический декремент затухания колебаний был равным χ = 6?

12.53. Тело массой m = 10 г совершает затухающие колебания с максимальной амплитудой Amах = 7 см, начальной фазой φ = 0 и коэффициентом затухания δ = 1,6 с-1. На это тело начала действовать внешняя периодическая сила F, под действием которой установились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид x = 5 sin (10*π*t - 3*π/4) см. Найти (с числовыми коэффициентами) уравнение собственных колебаний и уравнение внешней периодической силы.

12.54. Гиря массой m = 0,2 кг, висящая на вертикальной пружине, совершает затухающие колебания с коэффициентом затухания δ = 0,75 с-1. Жесткость пружины k = 0,5 кН/м. Начертить зависимость амплитуды А вынужденных колебаний гирьки от частоты ω внешней периодической силы, если известно, что максимальное значение внешней силы F0 = 0,98 Н. Для построения графика найти значение А для частот: ω = 0, ω = 0,5*ω0, ω = 0,75*ω0, ω = ω0, ω = 2*ω0, где ω0 частота собственных колебаний подвешенной гири.

12.55. По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы в виде ряда углублений, находящихся на расстоянии l = 30 см друг от друга. По этой дороге покатили детскую ко-ляску, имеющую две одинаковые рессоры, каждая из которых прогибается на х0 = 2 см под действием груза массой m0 = 1 кг. С какой скоростью v катии коляску, если от толч-ков на углублениях она, попав в резонанс, начала сильно раскачиваться? Масса коляски M = 10 кг.

12.56. Найти длину волны λ, колебания, период которого T =10-14 с. Скорость распространения колебаний с = 3*108 м/с.
12.57. Звуковые колебания, имеющие частоту v = 500 Гц и амплитуду А = 0,25 мм, распространяются в воздухе. Длина волны λ = 70 см. Найти скорость с распространения колебаний и максимальную скорость vmax частиц воздуха.

12.58. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид х = 10*sin(πt/2) см. Найти уравнение волны, если скорость распространения колебаний с = 300 м/с. Написать и изобразить графически уравнение колебания для точки, отстоящей на расстоянии l = 600 м от источника колебаний. Написать и изобразить графически уравнение колебания для точек волны в момент времени t = 4 с после начала колебаний.

12.59. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид х = 4*sin600πt см. Найти смещение х от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии l = 75 см от источ¬ника колебаний, для момента времени t = 0,01 с после на¬чала колебаний. Скорость распространения колебаний с = 300 м/с.

12.60. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид x = sin2,5πt см. Найти смещение х от положения равновесия, скорость v и ускорение а точки, находящейся на расстоянии l = 20 м от источника колебаний, для момента времени t = 1 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний с = 100 м/с.

Валентина Сергеевна Волькенштейн