ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И ОПТИМИЗАЦИЯ. Вариант 16.

1. Вариант задания представлен в таблице 1:
i 0 1 2 3 4 5
xi 11 13 15 17 19 21
yi 1.12 1.506 0.526 -0.82 -1.66 -1.87

Запишем параметры линейной аппроксимации
x ̅ = (∑_(i=0)^n▒x_i )/(n+1) = 96/6 = 16
Искомая линейная аппроксимирующая функция
F1(x) = 5.696105 0.3684857 x
Составим и решим систему нормальных уравнений для определения параметров многочлена второй степени F2(x) = an+a1x+a2x2
Система нормальных уравнений:
{█(6a_0+ 96a_1+ 1606 a_2= -1.198 @96a_0+ 1606a_1+ 27936a_2= -44.962 @1606a_0+ 27936a_1+ 502150a_2= -1152.526)┤
Решение систему нормальных уравнений:
a2 = -1,080304*10-2 a1 = -0,0227886 a0 = 3,056565
Искомая аппроксимирующая функция:
F2(x) = -1,080304*10-2 x2 -0,0227886 x +3,056565
2. Решение уравнения F2(x)=0 c точностью Е = 10-5.
Для определения корней уравнения F2(x) = -1,080304*10-2 x2 -0,0227886 x +3,056565 составим таблицу знаков функции F2(x).
На отрезках [-19; -15] и [13; 17] функция F2(x) меняет знаки, т.е. существует, по крайней ере, по одному корню. Убедимся, что эти корни единственны на каждом из отрезков.
3. Интеграл ∫_(x_1)^(x_2)▒〖F_2 (dx)〗 вычислияем, полагая n=10 и n=20 методами Симпсона, трапеций и средних прямоугольников.
Оценка погрешности вычисляется по правилу Рунге: R = (|I_h- I_(h/2|))/(2^k- 1)
Для методов средних прямоугольников и трапеций k=2, Rср.п = 0,
Rтрап = 6,6667*10-6
Для метода Симпсона k=4, Rс = 0.
4. Для нахождения точки экстремума применим методы дихотомии и золотого сечения, причет для нахождения максимума следует ввести новую функцию ƒ(x) = -F2(x). Проверка унимодальности необходима для использования указанных методов оптимизации.
ƒ(x) = -F2(x) = 1,080304*10-2 x2 +0,0227886 x -3,056565
ƒ˝(x) = 0.02160608 > 0, следовательно, ƒ(x) унимодальная. Начальный отрезок [-3;3], Е = 10-3.
а) метод дихотомии:
ЛИСТИНГ ПРОГРАММЫ
DECLARE SUB ITER (a0!, a1!, a2!)
DECLARE SUB NYUT (a0!, a1!, a2!)
DECLARE SUB INTEG (a0!, a1!, a2!)

PRINT "Funkciya y = y(x) zadana tablicie"
PRINT "******************"
PRINT "| i | x | y |"
PRINT "******************"

'Naxogdenie lineinoi approksimiruyusheu funkcii
Sx = 0
Sy = 0
Sxy = 0
Sx2 = 0
FOR i = 0 TO n
Sx = Sx + x(i)
Sy = Sy + y(i)
Sxy = Sxy + x(i) * y(i)
Sx2 = Sx2 + x(i) ^ 2
.
' Naxogdenie kvadratichnoi approksimiruyushei funkcii
a11 = 0
b1 = 0
a12 = 0
b2 = 0
a13 = 0
b3 = 0
a23 = 0
a33 = n + 1
FOR i = 0 TO n
a11 = a11 + x(i) ^ 4
a12 = a12 + x(i) ^ 3
..
SUB DIHOTOM (a0 AS SINGLE, a1 AS SINGLE, a2 AS SINGLE)
a0 = -a0
a1 = -a1
a2 = -a2
CLS
PRINT "*************************** METOD DIHOTOMII *******************************"
PRINT "Vvedite otrezok neopredelennosti [a,b]"
INPUT " a - ", a
INPUT " b - ", b
INPUT "Tochnost vichisleniya:"; E
INPUT "Paramet metoda:"; d
.
SUB INTEG (a0 AS SINGLE, a1 AS SINGLE, a2 AS SINGLE)
CLS
INPUT "Nijnyaya granica integrala:"; a
INPUT "Verhnyaya granica integrala:"; b
INPUT "Tochnost vichisleniya:"; E
INPUT "Kollichestvo intervalov:"; n1
.
'formila trapecii
n = 1
h = (b - a)
st = (h / 2) * ((a2 * a ^ 2 + a1 * a + a0) + (a2 * b ^ 2 + a1 * b + a0))
DO
n = 2 * n
h = (b - a) / n
s1 = st
st = ((a2 * a ^ 2 + a1 * a + a0) + (a2 * b ^ 2 + a1
.
PRINT "Tochka maksimuma: x="; xz; "f="; fz
PRINT
INPUT "Najmite ENTER", z
END SUB

СОДЕРЖАНИЕ
Практическое выполнение задания 2
Листинг программы 11
Список литературы 28

1. Банди Б. \методы оптимизации. М.: Радио и связь, 1988. 128 с.
2. Мельникова О.И., Бонюшкина А.Ю. Начала программирования на язы-ке Qbasic: Учебное пособие = М.: Издательство ЭКОМ, 2000 304 с., ил.
3. Бирюков С.И. Оптимизация. Элементы теории. Численные методы: Учеб. пособие. М. : МЗ-Пресс, 2003. 248с. : рис. (Серия "Естественные науки). Библиогр.: с. 245-246.
4. Волков Е.А. Численные методы: Учеб. пособие. 3.изд., испр. СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2004. 248с. : рис., табл. (Учебники для вузов). Библиогр.: с. 244.
5. Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации: Учебник для студ. высших техн. учеб. заведений / В. С. Зарубин (ред.), А.П. Крищенко (ред.). М. : Издательство МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. 439с. : рис., табл. (Серия "Математика в техническом университете"; Вып.14). Библиогр.: с. 428-432.
6. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. 4. изд., испр. и доп. М. : Физматлит, 2000. 295с. : рис. Бібліогр.: с.285-287.