Численные методы решения систем дифференциальных уравнений.

ВВЕДЕНИЕ
Математика как наука возникла в связи с необходимостью решения прак-тических задач: измерений на местности, навигации и т.д. Вследствие этого ма-тематика была численной математикой, ее целью являлось получение решения в виде числа.
Численное решение прикладных задач всегда интересовало математиков. Крупнейшие представители прошлого сочетали в своих исследованиях изуче-ния явлений природы, получение их математического описания, как иногда го-ворят, математической модели явления, и его исследование. Анализ усложнен-ных моделей потребовал создания специальных, как правило, численных или асимптотических методов решения задач. Названия некоторых из таких мето-дов методы Ньютона, Эйлера, Лобачевского, Гаусса, Чебышева, Эрмита, Крылова свидетельствуют о том, что их разработкой занимались крупнейшие ученые своего времени.
Задача решения обыкновенных дифференциальных уравнений сложнее задачи ычисления однократных интегралов, и доля задач, интегрируемых в явном виде, здесь существенно меньше.
Когда говорят об интегрируемости в явном виде, имеют в виду, что ре-шение может быть вычислено при помощи конечного числа «элементарных» операций: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, логарифмирования, потенцирования, вычисления синуса и косинуса и т.п. Уже в период, предшествовавший появлению ЭВМ, понятия «элементарной» опера-ции претерпели изменение. Решения некоторых частных задач настолько часто встречаются в приложения, что пришлось составить таблицы их значений, в ча-стности таблицы интегралов Френеля, функций Бесселя и ряда других, так на-зываемых специальных функций. При наличии таких таблиц исчезает принци-пиальная разница между вычислением функций , и специальных функций. В том и другом случаях можно вычислять значения этих функций при помощи таблицы, и те и другие функции можно вычислять, приближая их мно-гочленами, рациональными дробями и т.д. Таким образом, в класс задач, интег-рируемых в явном виде, включились задачи, решения которых выражаются че-рез специальные функции. Однако и этот, более широкий, класс составляет от-носительно малую долю задач, предъявляемых к решению. Существенное рас-ширение класса реально решаемых дифференциальных уравнений, а, следова-тельно, и расширение сферы применения математики произошло с разработкой численных методов и активным повсеместным использованием ЭВМ.
Настоящее время характерно резким расширением приложений матема-тики, во многом связанным с созданием и развитием средств вычислительной техники. В результате появления ЭВМ с программным управлением менее чем за пятьдесят лет скорость выполнения арифметических операций возросла от 0,1 операции в секунду при ручном счете до 1012 операций на современных се-рийных ЭВМ, т.е. примерно в 1013 раз.
Распространенное мнение о всемогуществе современных ЭВМ часто по-рождает впечатление, что математики избавились почти от всех хлопот, свя-занных с численным решением задач, и разработка новых методов для их ре-шения уже не столь существенна. В действительности дело обстоит иначе, по-скольку потребности эволюции, как правило, ставят перед наукой задачи, нахо-дящиеся на грани ее возможностей. Расширение возможностей приложения ма-тематики обусловило математизацию химии, экономики, биологии, геологии, географии, психологии, экологии, метеорологии, медицины, конкретных разде-лов техники и др. Суть математизации состоит в построении математических моделей процессов и явлений и в разработке методов их исследования.
Применение ЭВМ и расширение математического образования резко уве-личило возможности построения и исследования математических моделей. Все чаще результаты расчетов позволяют обнаруживать и предсказывать ранее ни-когда не наблюдавшиеся явления; это дает основания говорить о математиче-ском эксперименте. В некоторых исследованиях доверие к результатам числен-ных расчетов так велико, что при расхождении между результатами расчетов и экспериментов в первую очередь ищут погрешность в результатах эксперимен-тов.
Требование численного решения новых задач привело к появлению большого количества новых методов. Наряду с этим последние полвека проис-ходило интенсивное теоретическое переосмысливание и старых методов, а также систематизация всех методов. Эти теоретические исследования оказыва-ют большую помощь при решении конкретных задач и играют существенную роль в наблюдаемом сейчас широком распространении сферы приложений ЭВМ и математики вообще.
Итак, целью исследования является демонстрация применения различных методов систем дифференциальных уравнений.
Из определения целей вытекают задачи исследования: изучить алгоритмы решения систем дифференциальных уравнений.
Предметом исследования являются численные методы. Объектом исследо-вания является содержание дисциплины.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 3
I. Особенности интегрирования систем уравнений 6
II. Методы численного интегрирования уравнений второго порядка 21
III. Оптимизация распределения узлов интегрирования 26
Заключение 30
Список использованной литературы 32
Приложение1 33
Приложение2 34
Приложение3 35
Приложение4 36
Приложение5 38

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.- 632с.
2. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1982.
3. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные мето-ды. Т.1. М.: Наука, 1976.
4. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные мето-ды. Т.2. М.: Наука, 1977.
5. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычисли-тельных методов. Дифференциальные уравнения. Минск: Наука и техника, 1982.
6. Лебедев В.И. Как решать явными методами жесткие системы диффе-ренциальных уравнений // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1991, вып. 8 С. 237-291.
7. Локуциевский О.В., Гавриков М.Б. Начало численного анализа.- М.: ТОО «Янус», 1995.
8. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.
9. Турчак Л.И. Основы численных методов: Уч. Пособие. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.-320с.