Функция полезности.

6. Свойства решения задачи потребительского выбора
Из аксиом предпочтений потребителя и свойств функции полезности следует, что решение задачи потребительского выбора должно обладать следующими свойствами:
1. Решение задачи потребительского выбора не должно изменяться при любом монотонном преобразовании функции полезности потребителя. К монотонным преобразованиям относятся: умножение функции полезности потребителя на положительное число, логарифмирование по основанию больше единицы, возведение функции полезности в положительную степень.
2. Решение задачи потребительского выбора не должно изменяться при увеличении в одинаковой пропорции всех цен товаров и дохода потребителя, поскольку цены товаров и размер дохода не входят в максимизируемую функцию полезности, а лишь в бюджетное ограничение, которое в этом случае сохраняет прежний вид.
3. Решение задачи потребительского выбора всегда находится на границе бюджетного множества (бюджетной линии). Рассмотрим случай двух товаров. Предположим, что точка потребительского выбора располагается внутри бюджетного множества. Это означает, что потребитель израсходовал не весь свой доход и у него есть денежные средства, которые он может потратить на приобретение дополнительных единиц товаров, тем самым, увеличив полезность приобретаемого набора. Приобретение дополнительных единиц того или иного товара без уменьшения количества единиц других товаров в наборе соответствует перемещению кривой безразличия в северо-восточном направлении координатной плоскости. Поэтому точкой выбора потребителя всегда будет служить точка касания кривой безразличия с бюджетным множеством. В условиях стандартных предпочтений потребителя это решение всегда существует и является единственным.

Оглавление
Введение 2
1. Функция полезности потребителя 3
2. Основные виды функций полезности 4
3. Кривые безразличия 6
4. Основные виды кривых безразличия 9
5. Задача потребительского выбора 11
6. Свойства решения задачи потребительского выбора 13
7. Аналитическое решение задачи потребительского выбора 14
8. Модель Стоуна 16
9. Двойственная задача потребительского выбора 18
10. Практическое применение модели потребителя 19
Литература: 23


Введение
Полтора десятилетия назад Россия вступила в рыночные отношения. Многие люди не знали, да и не знают, как себя вести в новой обстановке экономических отношений. Для нормального существования в данных условиях совершенно необходимо знать «законы и аксиомы» экономики. Перед обществом, как и перед отдельным человеком, всегда стоит задача выбора направлений и способов использования ресурсов в различных целях. Методы решения этой задачи и составляют предмет экономической науки.
И целью данной работы является раскрытие темы касающейся полезности и рационального поведения потребителя в условиях рынка.
Основная задача математической микроэкономики заключается в построении математических моделей поведения потребителей.
Основным инструментом моделирования систем микроэкономики является теоретико-игровой подход. Предполагается, что агент строит свое поведение таким образом, чтобы в любой ситуации максимизировать свой выигрыш (полезность).
Теория потребительского выбора изучает поведение потребителя на рынке. Потребитель характеризуется своими предпочтениями и доходом, который он готов потратить на приобретение товаров, а рынок наборами товаров (потребительскими наборами) и ценами единиц товаров.


1. Функция полезности потребителя
Припишем каждому потребительскому набору , принадлежащему пространству товаров, некоторую количественную оценку данного набора со стороны потребителя Таким образом, на пространстве товаров мы зададим функцию полезности потребителя.
Функцией полезности потребителя называют функцию , которая удовлетворяет следующим условиям:
1. Для любых двух наборов товаров и , таких, что выполняется .
2. Для любых двух наборов товаров и , таких, что выполняется .
Значение, которое принимает функция полезности на конкретном наборе товаров, называют полезностью данного набора.
Теорема Дебре: для стандартных предпочтений потребителя всегда можно построить функцию полезности.
С понятием функции полезности связано понятие предельной полезности какого либо вида товара.
Предельной полезностью -го вида товара ( - marginal utility (англ.)) называют дополнительную полезность, которую получит потребитель от потребления каждой дополнительной единицы товара данного вида

Функция полезности потребителя обладает следующими свойствами:
1. C увеличением потребления какого либо товара значение функции полезности потребителя возрастает:

2. C увеличением потребления какого либо товара предельная полезность данного вида товара убывает (закон Госсена):
.
3. Если с увеличение потребления -го вида товара увеличивается потребление -го товара, то предельная полезность -го вида товара увеличивается: :
.
Замечание: данное свойство имеет место лишь в том случае, когда товары являются взаимозаменяемыми.

2. Основные виды функций полезности
1. Функция полезности для совершенных товарозаменителей:

Данное семейство функций полезности описывает предпочтения потребителя соответствующие полностью взаимозаменяемым товарам, т. е. ситуации, когда уменьшение потребление, какого либо вида товара может быть компенсировано потреблением дополнительных единиц любого другого товара. Коэффициенты представляют собой пропорции, в которых один товар может быть заменен другим.

Пример: рассмотрим пространство товаров, включающее в себя два вида товара:
- количество карандашей синего цвета,
- количество карандашей красного цвета.
Очевидно, что эти товары являются полностью взаимозаменяемыми. Функция полезности потребителя показывает, что в наборе товаров каждые 2 единицы синих карандашей могут быть заменены 3 единицами красных (и наоборот) без изменения полезности набора для данного потребителя.

2. Функция полезности с полным дополнением благ (функция полезности Леонтьева):

Данное семейство функций полезности описывает предпочтения потребителя соответствующие полностью взаимодополняемым товарам, т. е. ситуации, когда потребителю важно приобретать товары в определенной пропорции. Коэффициенты представляют собой пропорции, в которых потребителю важно приобретать товары.

Пример: рассмотрим пространство товаров, включающее в себя два вида товара:
- количество левых ботинок.
- количество правых ботинок.
Очевидно, что полезность набора товара для потребителя будет изменяться лишь в том случае, когда количество левых ботинок будет соответствовать количеству правых. Функция полезности потребителя в данном случае имеет вид .

3. Неоклассическая функция полезности (функция полезности Кобба-Дугласа):

Данное семейство функций полезности описывает предпочтения потребителя, обладающие свойством выпуклости, т. е. ситуацию, когда потребителю важно включать в набор какое-то количество единиц каждого товара. При этом уменьшение потребления какого-либо товара может быть скомпенсировано за счет увеличения потребления других товаров. Здесь величины ппредставляют весовые коэффициенты, описывающие предпочтения потребителя между различными видами товаров, представляет собой масштабирующий множитель.

Пример: рассмотрим пространство товаров, включающее в себя два вида товара:
- количество минут мобильной связи,
- количество мегабайт потребляемого трафика сети Интернет.
Очевидно, что потребителю необходимо как наличие мобильной связи, так и наличие доступа в Интернет. Функция полезности потребителя потребителя в данном случае соответствует ситуации,когда эти товары одинаково важны для потребителя.
3. Кривые безразличия
Множество наборов товаров, обеспечивающих потребителю заданный уровень полезности (являющихся одинаково полезными для потребителя) называют кривой безразличия.
Пусть на пространстве товаров задана функция полезности и - выбранный потребителем уровень полезности, тогда кривой безразличия уровня называют множество наборов товаров

Очевидно, что семейство кривых безразличия представляет собой семейство линий уровня для функции полезности потребителя.
Для простоты будем предполагать, что в распоряжении потребителя имеются два вида товара:
- количество единиц первого товара,
- количество единиц второго товара.

1. Математические модели в экономике / Модели потребительского выбора / http://mylearn.ru/kurs/29/1399
2. Р. М. Нуреев, «Курс микроэкономики», издательство НОРМА, Москва, 2003.
3. Экономическая теория, под ред. В. И. Ведяпина и Г. П. Журавлевой, ИНФРА-М, 2005