Решение:
1) Выберем из таблицы синусов несколько значений и составим таблицу разностей первого и второго порядков:
x sin x yi 2yi
1,03 0,8573 0,0051 -0,0001
1,04 0,8624 0,0050 -0,0001
1,05 0,8674 0,0049 -0,0001
1,06 0,8724 0,0048 -0,0001
1,07 0,8772 0,0048
1,08 0,8820
На возможность использования линейной интерполяции указывает тот факт, что разности первого порядка практически постоянны, а также выполнение соотношения ; действительно, .
При вычислении пользуемся формулой:
(x)= (x0)+q(x0),
где q=(x – x0)/h, а x0 – ближайшее значение в таблице, меньшее чем 1,0618. Имеем x0 =1,06; q =(1,0618 –1,06)/0,01=0,18;
sin 1,0618 0,8724+0,180,0049 = 0,873282.
Выберем теперь из таблицы косинусов несколько значений и составим таблицу разностей первого и второго порядков:
x cos x yi 2yi
0,11 0,99396 -0,0011 -0,0001
0,12 0,99281 -0,0012 -0,0001
0,13 0,99156 -0,0013 -0,0001
0,14 0,99022 -0,0014 -0,0001
0,15 0,98877 -0,0015
0,16 0,98723
Разности первого порядка практически постоянны, а также справедливо соотношение (так как ), что указывает на возможность применения линейной интерполяции.
Полагаем x0 = 0,14; тогда q = (0,1458 – 0,14)/0,01=0,58; значит,
cos 0,1458 0,99022+0,58(−0,0014) = 0,989408.
2) Формула квадратичной интерполяции:
,
где q = (x – x0)/h, h = xi+1 – xi (i = 0, 1, …, n).
Составим расчетную таблицу:
yi 2yi 3yi
1,675 9,5618 -0,0915 0,0016 0,00020
1,676 9,4703 -0,0899 0,0018 -0,00030
1,677 9,3804 -0,0881 0,0015 0,00020
1,678 9,2923 -0,0866 0,0017 -0,00030
1,679 9,2057 -0,0849 0,0014 0,00020
1,68 9,1208 -0,0835 0,0016 -0,00020
1,681 9,0373 -0,0819 0,0014 0,00010
1,682 8,9554 -0,0805 0,0015 -0,00020
1,683 8,8749 -0,079 0,0013 0,00000
1,684 8,7959 -0,0777 0,0013 0,00010
1,685 8,7182 -0,0764 0,0014 -0,00010
1,686 8,6418 -0,075 0,0013
1,687 8,5668 -0,0737
1,688 8,4931
Разности первого порядка практически постоянны, а также справедливо соотношение (так как ), что указывает на возможность применения квадратичной интерполяции.
Вычислим значение функции в точке 1,6837:
;
и вычислим значение функции в точке 1,6814:
;
Работа 1
Задание. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана: 1) в неравноотстоящих узлах таблицы; 2) в равноотстоящих узлах таблицы.
Варианты к заданию 1) приведены в табл. 5.1 прил. 5.
Вариант Таблица
значений
№ вар. x x y
8 0,114 0,35 2,73951
0,41 2,30080
0,47 1,96864
0,51 1,78776
0,56 1,59502
0,64 1,34310
Варианты к заданию 2) приведены в табл. 5.2 прил. 5.
Вариант Таблица значений
№ вар. x x y
8 0,1315 0,150 6,61659
0,155 6,39989
0,160 6,19658
0,165 6,00551
0,170 5,82558
0,175 5,65583
Работа 2
Задание. 1) Используя линейную интерполяцию, вычислить значения функции при заданных значениях аргумента. Предварительно убедиться в применимости формулы, для чего выбрать шесть значений из таблицы синусов (точность 0,000001) и составить таблицу разностей.
2) Используя квадратичную интерполяцию, вычислить значения функции при данных значениях аргумента. Предварительно убедиться в применимости формулы.
Варианты к заданию 1) приведены в табл. 5.3 прил. 5.
№
вар. Задание а) Задание б)
8 а) sin 1,0618 б) cos 0,1458
Варианты к заданию 2) приведены в табл. 5.4. прил. 5.
8 1,6837 1,6814
x y
1,675 9,5618
1,676 9,4703
1,677 9,3804
1,678 9,2923
1,679 9,2057
1,680 9,1208
1,681 9,0373
1,682 8,9554
1,683 8,8749
1,684 8,7959
1,685 8,7182
1,686 8,6418
1,687 8,5668
1,688 8,4931
спользуя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.6х2 – 4*sqrt(14)хy + 5y2 = 26.Решение:Группа старших членов уравнения образует квадратичную форму с мат