Интерполирование. Методы (многочлены Ньютона, Лагранжа, Мплайн).

Введение Интерполирование в математике — один из важнейших способов приближенного вычисления. Задача И. заключается в том, чтобы по данным величинам некоторой функции для известных значений переменных независимых (аргументов) найти величину функции для произвольного (обыкновенно промежуточного) значения этих переменных независимых. Этой задачей занимались Валлис, Ньютон, Эйлер и другие математики. Найти формулу И. значит заменить искомую функцию более простой, обыкновенно многочленом, причем коэффициенты и степени этого многочлена подбираются так, чтобы значение его для данного значения переменных независимых совпадало с заданными значениями искомой функции. Формулы И. представляют выражения, в которых искомая функция представляется при помощи данных величин функции и их последовательных разностей. В нижеследующей таблице в первом столбце стоят последовательные аргументы (значения независимой переменной), во втором — соответствующие величины функции, а в следующих — последовательные разности, так что b "' = а " — а "', b " = а' — а "... с " = b " — b "'... Для вычисления величины функции а для аргумента Т + nh, где n < 1, можно употребить одну из следующих формул И.: Формула Ньютона. a = ao + {(b' + b1)/2 — 1/6[(d' + d1)/2] +... }n + {co/2 — eo/24 +... }n2 + {1/6[(d' + d1)/2] —... }n3 +... Формула Бесселя. a = ao + nb1 + [n(n — 1)/1.2].[(co + c1)/2] + [n(n — 1)(n — 1/2)/1.2.3]d1 + [(n + 1).n(n — 1)(n — 2)/1.2.3.4].[(eo + e1)/2] +... Формула Стирлинга. a = ao + [(b' + b1)/2]n + co(n2/1.2) + [(d' + d1)/2].[(n — 1)n(n + 1)/1.2.3] + eo[(n — 1)n2(n + 1)/1.2.3.4] +... Числовой пример. Даны склонения Луны для отдельных моментов, следующих через 12 часов, и требуется найти склонение Луны для 2 янв. в 15 час. среднего времени. Для 15 ч. 2-го января n = ¼, и потому, употребив одну из вышеприведенных формул И., получится а = 12°58'59,4 ". Простейший случай И. встречается при подыскивании логарифмов чисел, которые в таблицах даются лишь для известных последовательных значений аргумента. В этом случае аргументы настолько сближены, что действительное значение имеют только первые разности; прочие разности равны нулю, и потому все вышеприведенные формулы обращаются в a = ao + nb, т. е. И. сводится к решению простой пропорции. При помощи И. производится и нахождение аргумента для данного промежуточного значения функции, т. е. решается и обратная задача. В этом случае одну из формул И. нужно решить относительно неизвестной n. Так как коэффициенты у различных степеней n весьма быстро уменьшаются, то вычисление производится последовательными приближениями, причем для первого приближения принимается n = (a — a0)/b. При вычислении по таблицам чисел по данному логарифму это первое приближение есть уже окончательное решение. Если аргументы не представляют арифметической прогрессии и величины функции даны для нескольких произвольных значений аргументов х1, х2.....хп, то величина функции для всякого другого значения аргумента x вычисляется по формуле Лагранжа: F(x) = U1{[(x — x2)(x — x3)... (x — xn)]/[(x — x2)(x1 — x3)... (x1 — xn)]} + U2{[(x — x1)(x — x3)... (x — xn)]/[(x2 — x1)(x2 — x3)... (x2 — xn)]} +... + Un{[(x — x1)(x — x2)... (x — xn-1)]/[(xn — x1)(xn — x2)... (xn — xn-1)]} +... где U1 = F(x1), U2 = F(x2)... Un = F(xn). Употребление этой формулы встречается при И. наблюдений. Геометрическое значение И. заключается в проведении параболы высших степеней через ряд данных точек на плоскости. Чем число данных точек больше, тем проведенная через них парабола ближе к неизвестной кривой. Если положение точек определено лишь с известной степенью приближения (напр. из наблюдений), то от интерполяционной кривой требуется иногда не то, чтобы она прошла через все данные точки, а чтобы она заняла некоторое среднее положение, по возможности меньше уклоняясь в ту или другую сторону от этих точек. Для функций от двух и более аргументов формулы И. значительно сложнее. Когда приходится пользоваться таблицами с двумя входами, то на практике прибегают к двум последовательным И. сперва по одному, а затем по другому аргументу.

Введение ………………………………………………………………….. 2
ГЛАВА 1. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ СПЛАЙНАМИ………………. 5
1.1. Сплайны ……………………………………………………………. 5
1.2. Интерполяция ………………………………………………………. 7
1.3. Первая интерполяционная формула Ньютона…………………… 9
1.4. Вторая интерполяционная формула Ньютона…………………… 10
1.5. Интерполяционная формула Стирлинга…………………………. 11
1.6. Пример интерполирования сплайнами………………………….. 11
ГЛАВА 2. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ МНОГОЧЛЕНАМИ …………….. 13
2.1. Многочлены………………………………………………………… 13
2.2. Интерполяция многочленами ……………………………………. 14
2.3. Методы интерполяции Лагранжа и Ньютона……………………. 15
2.4. Интерполяционный многочлен Лагранжа……………………….. 17
2.5. Интерполяционные формулы……………………………………… 19
2.6. Интерполирование сплайнами……………………………………… 26
Заключение …………………………………………………………….. 31
Список использованной литературы ………………………………. 32

1. Роджерс Д.,Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001.
2. Лившиц Евгений Давидович. Непрерывные E-выборки для приближения полиномиальными и рациональными сплайнами : Дис. … канд. физ.-мат. наук : 01.01.01 Москва, 2005 90 с. РГБ ОД, 61:06-1/42
3. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. — Теория сплайнов и ее приложения
4. Винниченко Л. Ф. Экспоненциальные гистосплайны: предпосылки введения// Publishing house Education and Science s.r.o., конференция «Европейская наука XXI века», 2009
5. Корнейчук, Н. П., Бабенко, В. Ф., Лигун, А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов / отв. ред. А. И. Степанец; ред. С. Д. Кошис, О. Д. Мельник, АН Украины, Ин-т математики. — К.: Наукова думка, 1992. — 304 с. — ISBN 5-12-002210-3
6. Вершинин В. В., Завьялов Ю. С, Павлов Н. Н. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания. — Новосибирск: Наука, 1988, УДК 519.651
7. Роженко Александр Иосифович. Теория и алгоритмы вариационной сплайн-аппроксимации : Дис. … д-ра физ.-мат. наук : 01.01.07 : Новосибирск, 2003 231 c. РГБ ОД, 71:05-1/136
8. Шикин Е. В., Плис Л. И. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. — М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1996. — 240 с. ISBN 5-86404-080-0, УДК 681.3 Ш57