ЖИВАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

При проведении сопоставления геометрических параметров различных спиральных решеток с целью выявления тех или иных экстремальных (максимальных или минимальных) значений. В частности, интерес представляли спиральные решетки с соотношением количества встречных спиралей близким к пропорции «золотого сечения». Однако из всех рассмотренных вариантов, вариант ближайший к «золотому сечению» (N=3, M=5) не оказался экстремальным по определенным нами параметрам. Следовтельно, в природных объектах укладку семян нельзя признать максимально плотной. Нельзя также утверждать, что площадь ячейки (четырехугольной или шестиугольной) является предельно максимальной по отношению к величине периметра (стенок) ячейки [30].
Данный способ построения дает возможность для практического выхода на решение целого ряда прикладных архитектурно-дизайнерских задач. В частности, разработанный метод расчета формы ячеек, позволит упорядочить процесс геометрического структурирования и формообразования в различных сферах дизайна (орнамент, декор и т.д.). Кроме того, его можно использовать в градостроительстве. Приведенные сопоставления различных геометрических структур дают возможность утверждать, что радиально-гексагональные структуры является наиболее оптимальными, по критерию минимизации длины периметров (путей, дорог, коммуникаций). При этом в них получается максимальная относительная площадь ячеек (кварталов, районов).
Возникает еще один вопрос: почему же тогда природа не выбрала радиально-гексагональную структуру для формирования живых объектов? По всей видимости, здесь мы имеем дело с разными стратегиями роста структур. Так, если рассматривать процессы роста города, то можно утверждать, что они основаны на одновременном росте по нескольким направлениям от центра к периферии. И в этом случае происходит присоединение новых территорий. Нечто похожее происходит, очевидно, и в случае роста кристаллов. А в биологических объектах, например в корзинке подсолнуха, процесс роста осуществляется по другому сценарию. В центре корзинки через равные промежутки времени происходит формирование новых семечек, которые в процессе выталкивания новыми семечками, занимают тот сектор корзинки, который является более свободным от других семечек.
Математическое моделирование этого процесса [41], показало, что наиболее оптимальное заполнение корзинки возникающими и растущими семечками происходит в случае формирования спиральных решеток с соотношением количества правых и левых спиралей в пропорции золотого сечения.
Принципиальная разница между процессами роста кристаллов и роста биологических структур, очевидно, заключается в том, что в первом случае действует механизм наращивания, т.е. присоединения новых элементов извне, а во втором случае действует механизм выталкивания каждого нового элемента из центра к периферии.
В биологическом и растительном мире вступает в действие принцип экономии материи (рис.40), который не действует в неорганическом мире.
Ярким примером этому служит стремление живых организмов к экономии костной субстанции при распределении материи, дающее максимум прочности во всех нужных направлениях.
Кроме этого, живые организмы проявляют лишь одним им свойственный феномен - феномен роста. Неорганические кристаллы увеличиваются путем присоединения идентичных элементов; живой организм растет путем "всасывания", идущего изнутри и направляющегося наружу.
Отвечая на вопрос: "Где граница между живой и мертвой природой?" многие известные специалисты в области симметрии и кристаллографии обращают внимание на то, что это различие состоит в использовании в живых организмах так называемой "пятерной" или "пентагональной" симметрией, связанной с золотым сечением.




2.3 Сущность геометрических построений

Развитие статических и динамических представлений детей относятся к числу важнейших задач обучения в школе. Сознавая это, учитель старается использовать богатые возможности курса черчения для постановки и решения различных пространственных задач в процессе графической подготовки учащихся. Немаловажную роль в расширении и продуктивном развитии пространственных представлений играют геометрические построения [9;14].
Деление окружности на равные части, достаточно распространенное геометрическое построение, основывается на законах симметрии, а именно является примером поворотной симметрии [1;8].

Деление окружности на восемь равных частей.
Деление окружности на восемь равных частей производится в следующей последовательности (рис.41):
Проводят две перпендикулярные оси, которые пересекая окружность в точках 1,2,3,4 делят ее на четыре равные части;
Применяя известный прием деления прямого угла на две равные части при помощи циркуля или угольника строят биссектрисы прямых углов, которые, пересекаясь с окружностью в точках 5, 6, 7, и 8 делят каждую четвертую часть окружности пополам.



Деление окружности на три, шесть и двенадцать равных частей.
Деление окружности на три, шесть и двенадцать равных частей выполняется в следующей последовательности (рис.42):
Выбираем в качестве точки 1, точку пересечения осевой линии с окружностью.
Из точки 4 пересечения осевой линии с окружностью проводим дугу радиусом равным радиусу окружности R до пересечения с окружностью в точках 2 и 3; Точки 1, 2 и 3 делят окружность на три равные части;
Из точки 1 пересечения осевой линии с окружностью проводим дугу радиусом равным радиусу окружности R до пересечения с окружностью в точках 5 и 6; Точки 1 - 6 делят окружность на шесть равных частей;
Дуги радиусом R, проведенные из точек 7 и 8 пересекут окружность в точках 9, 10, 11 и 12;
Точки 1 - 12 делят окружность на двенадцать равных частей.
Деление окружности на пять равных частей.
Деление окружности на пять равных частей выполняется в следующей последовательности (рис.43):
Из точки А радиусом, равным радиусу окружности R, проводим дугу, которая пересечет окружность в точке В; Из точки В опускают перпендикуляр на горизонтальную осевую линию;
Из основания перпендикуляра - точки С, радиусом равным С1, проводят дугу окружности, которая пересечет горизонтальную осевую линию в точке D;
Из точки 1 радиусом равным D1, проводят дугу до пересечения с окружностью в точке 2, дуга 12 равна 1/5 длины окружности;
Точки 3, 4 и 5 находят откладывая циркулем по данной окружности хорды, равные D1.

Деление окружности на семь равных частей.
Деление окружности на семь равных частей выполняется в следующей последовательности (рис. 44):
Из точки А радиусом, равным радиусу окружности R, проводим дугу, которая пересечет окружность в точке В; Из точки В опускают перпендикуляр на горизонтальную осевую линию;
Длину перпендикуляра ВС откладывают от точки 1 по окружности семь раз и получают искомые точки 1 - 7.


Деление окружности на любое количество равных частей [27]
Для деления окружности на любое количество равных частей можно воспользоваться коэффициентами (см. таблицу 1.). Зная, на какое число n следует разделить окружность, находят коэффициент k. При умножении коэффициента k на диаметр D этой окружности, получают длину хорды, которую циркулем откладывают на заданной окружности n раз.
Таблица 1
n 25 26 27 28 29 30
k 0.12533 0,12054 0,11609 0,11196 0,10812 0,10453
n 31 32 33 34 35 36
k 0,10117 0,09802 0,09506 0,09227 0,08964 0,08716


Циклоида - траектория (путь) точка А, лежащая на окружности, которая катится без скольжения по прямой АА12 (рис. 45).

Построение циклоиды производится в следующей последовательности [14]:
На направляющей горизонтальной прямой откладывают отрезок АА12, равный длине производящей окружности радиуса r, (2pr); Строят производящую окружность радиуса r, так чтобы направляющая прямая была касательной к неё в точке А; Окружность и отрезок АА12 делят на несколько равных частей, например на 12; Из точек делений 11, 21, ...121 восстанавливают перпендикуляры до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности в точках 01, 02, ...012; Из точек деления окружности 1, 2, ...12 проводят горизонтальные прямые, на которых делают засечки дугами окружности радиуса r; Полученные точки А1, А2, ...А12 принадлежат циклоиде.

Оглавление
Вступление 3
1.1 Актуальность темы 3
1.2 Цели и задачи работы 5
2 Теоретические изложения 6
2.1 Краткий анализ литературы 6
2.2 Описание геометрических законов в сравнении с природными явлениями 11
2.3 Сущность геометрических построений 41
3 Из истории 49
3.1 Открытие некоторых геометрических построений 49
4 Практическая часть 54
4.1 Краткий обзор дипломной работы 54
4.2 Содержание планшетов 55
4.3 Презентация 56
4.4 Дополнительные материалы 60
5 Педагогическая практика 62
5.1 Сущность графического образования, и его место в современном мире 62
5.2 Цели и задачи практики 65
5.3 Структура занятий 66
5.4 Методы и приемы, практические пособия 68
5.5. Итоги педагогической практики 69
Заключение 70
Литература 73

Вступление
1.1 Актуальность темы

Почему наш мир прекрасен? Почему формы и цвета живой природы не во всем соответствуют принципу биологической целесообразности, но во многом следуют общим закономерностям гармонии, выявляющимся путем строгого математического анализа? В свое время создатель теории эволюции Чарльз Дарвин предположил, что случайно появляющиеся в живой природе эстетические закономерности привлекают особей другого пола и закрепляются в последующих поколениях. При изучении природы мы находим в ней все больше эстетических признаков, которые выявляются, как правило, не сразу, но после детального математического анализа.
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.
Исследования последних лет показали, что эстетически воспринимаемые формы живой природы большей частью связаны с неевклидовой симметрией, выявляемой, опять-таки, лишь после тщательного математического анализа. То же самое можно сказать и относительно пения птиц, совершенство форм которого можно оценить лишь после применения специальной записывающей аппаратуры. Другими словами эстетически правильные формы являются гораздо более распространенными в природе, чем это может показаться на первый взгляд.
При использовании законов геометрии природы в новой ситуации, для изучения курсов предметов, связанных с геометрическими построениями, мы повышаем общую мотивацию к учению. В результате учащиеся заново переосмысливают изученные геометрические законы, развивают геометрическую интуицию.
Кроме того, в процессе выполнения творческих заданий различного содержания, ребята знакомятся с возможными сферами применения геометрических знаний (художниками, архитекторами, дизайнерами и т.д.). Это служит повышению интереса к предмету и осознанному выбору профиля обучения в старшей школе, а опыт и знания, приобретенные в процессе изучения компьютеризированного курса, расширяют геометрические представления учащихся и помогут при дальнейшем их обучении.
Графические средства отображения информации используются во всех сферах жизни общества. Они имеют законченный образ, характеризуются символичностью, компактностью, относительной легкостью прочтения. Именно эти качества графических изображений обуславливают их расширенное использование. В недалеком будущем более половины представляемой информации будет иметь графическую форму предъявления. Учитывая мировую тенденцию развития, общее среднее образование должно предусмотреть формирование знаний о методах графического предъявления и восприятия информации, что обеспечит условия и возможность ориентации социума в обществе.
Развитие теоретических основ начертательной геометрии, инженерной графики и других смежных наук расширило способы получения графических изображений. Наряду с ручными способами формирования графических изображений, составления проектной документации все более широкое применение находят компьютерные способы. Использование новых информационных технологий обеспечивает создание, редактирование, хранение, тиражирование графических изображений с помощью различных программных средств, а также возможность передачи их посредством коммуникационных сетей (местных и глобальных).



1.2 Цели и задачи работы

Целью нашей работы является изучение проявлений геометрических законов в живой природе и использования их в образовательной практической деятельности.
Для достижения этой цели следует решить ряд задач:
Изучить теоретические источники по проблеме;
Ознакомиться с сущностью геометрических законов и основанных на них построениях;
Рассмотреть исторические аспекты геометрических законов и построений;
Изучить практическое преломление данной темы;
Проанализировать полученные сведения, дать рекомендации по практическому использованию «живой геометрии».
В данной работе используются следующие методы: анализ теоретических источников и разработка практических упражнений.
Объектом исследования является геометрия в живом мире.
Предметом изучения являются способы геометрических построений, соотносимые с геометрией в живом мире.
Гипотеза исследования такова: при создании специальных условий обучения с использованием «живой геометрии» наблюдается положительная динамика в мотивационной сфере школьников, в отношении к занятиям черчением и геометрическими построениями.

2 Теоретические изложения

2.1 Краткий анализ литературы

«Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле как эквиваленте уравновешенности и гармонии. В геометрических орнаментах всех веков запечатлены неиссякаемая фантазия и изобретательность художников и мастеров, чье творчество было ограничено жесткими рамками, установленными неукоснительным следованием принципам симметрии. Трактуемые несравненно шире идеи симметрии нередко можно обнаружить в живопи¬си, скульптуре, музыке и поэзии. Операции симметрии часто служат ка¬нонами, которым подчиняются балетные па: симметричные движения составляют основу танца... Формы восприятия и выражения во многих областях науки и искусства, в конечном счете, опираются на симметрию, используемую и проявляющуюся в специфических понятиях и средст¬вах, присущих отдельным областям науки или видам искусства. Помимо специализрованных приложений принципы симметрии могут служить также для унификации и объединения обширного круга знаний» [36].
«Изучая внешнюю форму и строение кристаллов, законы механического движения, природу физических полей, элементарные частицы и их квантовомеханическое поведение, законы сохранения, строение растений, животных и человека, математические абстракции, реалии предметного быта, архитектуру, скульптуру, живопись, поэзию и музы¬ку, человек везде стремился найти и находил упорядоченность, гармо¬нию, пропорциональность, соразмерность, то, что он, в конце концов, обозначил одним понятием симметрия. В это емкое понятие вклю¬чаются и закономерное расположение в пространстве одинаковых ма¬териальных объектов, и упорядоченное изменение во времени различ¬ных звуков, и математические законы, и строго определенные измене¬ния физических состояний и свойств частиц и полей» [33].
Приведенные высказывания подчеркивают необычайную широту применения понятия симметрии, его многоликость и все¬общность. Какие бы сферы человеческой деятельности (будь то наука или искусство) мы ни рассматривали, везде обнаруживается симметрия. Нет, пожалуй, таких сфер деятельности, где понятие симметрии не применялось бы.
Из сказанного выше следует, что симметрия является глобаль¬ным понятием. Естественно возникает вопрос о том, как может выглядеть глобальное (самое общее) определение данного понятия. Такое определение почти автоматически возникает, если мы обратимся к диалектическим категориям «изменение» и «со¬хранение». Почему эти категории называются диалектическими? Дело в том, что понятие сохранения оказалось бы попросту не¬нужным, если бы в мире вдруг исчезли изменения. Точно так же понятие изменения имеет смысл лишь постольку, поскольку можно наблюдать сохранение. Указанные понятия противопо¬ложны, но при этом имеют смысл лишь в сопоставлении друг с другом. Как принято говорить, они едины в своей противополож¬ности. Именно в этом смысле мы говорим об их диалектическом единстве. Поставим вопрос: через какое понятие выражается диалектическое единство изменения и сохранения? Отвечаем: таким понятием как раз и является понятие симметрии, рас¬сматриваемое в самом общем плане [35].
Итак, с общей точки зрения, симметрия есть понятие, вы¬ражающее диалектическое единство изменения и сохранения. Как отмечал Р. Фейнман, симметричным следует считать такой объект, «который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали» [29].
По выражению Н. Ф. Овчинникова, «единство сохранения и изменения вот краткая формула сим¬метрии, выявляющаяся на абстрактно-теоретическом уровне».
Можно говорить о следующей структуре понятия симметрии [10]:
есть объект, симметрия которого рассматривается (это мо¬жет быть не только материальный объект, но также изображение, текст, нотное письмо, физическое или какое-либо иное явление, например танец);
есть изменение (преобразование), по отношению к которому рассматривается симметрия;
есть сохранение (неизменность) объекта или отдельных его свойств или сторон, которое и выражает рассматриваемую сим¬метрию.
Коротко говоря, симметрия заключается в сохранении че¬го-то при каких-то изменениях. С симметрией мы встречаемся всякий раз, когда при каких-то изменениях что-то сохраняется. В этом смысле понятие симметрии оказывается, по сути дела, тождественным понятию инвариантности.
Уместно напомнить, что древ¬ние греки отождествляли симметрию с гармонией и что, по Пи¬фагору, «гармония есть то, что приводит противоположности к единству». Правда, Пифагор не уточнял, о каких противополож¬ностях идет речь. Судя по всему, он не собирался ограничиваться диалектическим единством изменения и сохранения, что и пред¬определяло нечеткость и расплывчатость понятия симметрии (как и понятия гармонии) [17;37].
Следуя идеям Ю. Вигнера, которые были изложены им в работах «Симметрия и законы сохранения» и «Роль принципов инвариантности в натуральной философии», выде¬лим три уровня научного познания. Первый уровень (наиболее простой) это уровень явлений (физических, химических, био¬логических и др.). Процесс познания начинается с данного уровня, т.е. с изучения и сопоставления разнообразных явле¬ний, происходящих в окружающем нас мире. Это изучение по¬зволяет обнаружить существование между различными явле¬ниями тех или иных взаимосвязей, которые как раз и представ¬ляются нами как законы природы. Выявляя их, исследователь переходит на второй уровень познания уровень законов приро¬ды. Анализ законов природы позволяет осуществить затем пере¬ход на третий уровень уровень принципов симметрии (принципов инвариантности) [11].
Вигнер отмечал: «С весьма абстрактной точки зрения существует глубокая анало¬гия между отношением законов природы к явлениям, с одной сторо¬ны, и отношением принципов симметрии к законам природы с другой... Функция, которую несут принципы симметрии, состоит в наделении структурой законов природы или установлении между ними внутренней связи, так же как законы природы устанавливают структуру или взаимосвязь в мире явлений... Законы природы позволяют нам предвидеть одни явления на основе того, что мы знаем о других явлениях; принципы инвариантности должны позво¬лять нам устанавливать новые корреляции между явлениями на основании уже установленных корреляций между ними» [10].
Как подчеркивал Вигнер, мы просто были бы не в состоянии формулировать законы природы, если бы корреляции (взаимо¬связи) между событиями (явлениями) не были инвариантными по отношению к пространственно-временным преобразованиям. Он писал: «Законы природы не могли бы существовать без принципов инва¬риантности. Если бы корреляции между событиями менялись день ото дня и были бы различными для разных точек пространства, то откры¬вать законы природы было бы невозможно. Таким образом, инвариант¬ность законов природы относительно сдвигов в пространстве и време¬ни служит необходимой предпосылкой того, что мы можем открывать корреляции между событиями, т. е. законы природы» [11].
Вигнер говорил об определенной иерархии нашего знания об окружающем мире, имея в виду «переход с одной ступени на другую, более высокую от явлений к законам природы, от законов природы к симметрии, или принципам инвариантности» [11].

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Часть первая. М.: Просвещение, 1986. 268 с.
2. Аргунов Б.М., Балк М.Б. Элементарная геометрия. М.: Просвещение, 1986. 422 с.
3. Бахман Ф.М. Построение геометрии на основе понятия симметрии. М.: Просвещение, 1969. 356 с.
4. Беккер Б.М., Некрасов В.Б. Применение векторов к решению задач. С-Пб.: Питер, 1997. 188 с.
5. Беляев М.И. Природные механизмы законов сохранения. Симметрия и асимметрия. М.: Наука, 2007. -126 с.
6. Бендукидзе А.Д. Золоте сечение//Квант. 2003. - №8. С.22-28.
7. Берман Г.Н. Циклоида. Об одной замечательной кривой линии и некоторых других, с ней связанных. 3-е изд. М.: Наука, 1980. 112 с.
8. Боголюбов С.К. Задания по курсу черчения (в двух книгах): Учеб. пособие для техникумов. Книга первая: Основы черчения и начертательной геометрии. М.: Высш. школа, 1978. 168 с.
9. Ботвинников А.Д. Об актуальных вопросах методики обучения черчению. Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1977. 191 с.: ил.
10. Вигнер Ю. Симметрия и законы сохранения. М.: Наука, 1963. 122 с.
11. Вигнер Ю. Роль принципов инвариантности в натуральной философии. М.: Наука, 1964. 162 с.
12. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: Кн. для внеклас. чтения IX-X кл. 2-е изд., испр. М.: Просвещение, 1985. 192 с. (Мир знаний).
13. Власов В.Г. Золотое сечение//Большой энциклопедический словарь изобразительного искусства. М.: Академия, 2003. Т.3. С. 174-180.
14. Вольхин К.А.. Астахова Т.А. Геометрические основы построения чертежа. Геометрическое черчение. Электронное учебное пособие. Новосибирск, 2004
15. Воротников И.А. Занимательное черчение. 2-е изд., доп. М.: Просвещение, 1969. 149 с.: ил.
16. Гервер В.А. Творчество на уроках черчения: Книга для учителя. М.: Гуманит. изд. Центр ВЛАДОС, 1998. 144 с.: ил.
17. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1983. 351 с.: ил.
18. Дадаян А.А. Основы черчения и инженерной графики. Геометрические построения на плоскости и в пространстве. М.: Изд-во Форум, 2007. 464 с.: ил.
19. Емельянов А.Е. Универсальная геометрия в природе и архитектуре. (Симметрия, гармония, абсолютные системы отсчета). Донбасс, 1990.
20. Катханова Ю.Ф. Техническая графика и основы дизайна. 8-9 класс. Программы средней общеобразовательной школы. М.: Просвещение, 2000. 16 с.
21. Козлова Н.В. Принцип интегрирования в обучении черчению учащихся 7-го класса. Методические рекомендации для учителей черчения и студентов художественно-графического факультета педагогического института. Нижний Тагил: НТГПИ, 1997. 40 с.
22. Лебедев Ю.С. Архитектурная бионика. М.: Стройиздат, 2000. 121 с.
23. Мандельброт Бенуа. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 660 с.: ил.
24. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. М.: Наука, 1978. 48 с.: ил.
25. Монж Г. Начертательная геометрия./ Комментарии и редакция Д.И. Каргина.- М.: АН СССР, 1974. 291 с.
26. Пантуев А.В.. Виртуальные лаборатории и активизация работы школьников. Сб. Стимулирование познавательной деятельности студентов и школьников, М: МГПУ, 2002. С. 30-33.
27. Покровский, В.Г. Геометрические построения на плоскости: учебное пособие / В.Г. Покровский М.: МЦНМО, 2002. 98 с.
28. Потоцкий М.В. Что изучает проективная геометрия? М.: Просвещение, 1982. 342 с.
29. Пидоу Д. Геометрия и искусство. Пер. с англ. Ю.А. Данилова под ред. и с предисл. И.М. Яглома. М.: Мир, 1979. 332 с.: ил. (В мире науки и техники).
30. Радзюкевич А.В. Метод автоматизированного геометрического построения спиральных структур// Архитектура и современные информационные технологии. 2008. - №1(2). С.12-29.
31. Репникова Г.Г. Геометрические преобразования пространства. Ставрополь, 1992. 168 с.
32. Сафонов Ю. Новеллы о золотом сечении и числах Фибоначчи// Чудеса и приключения. 2002. - №3. С.56-59.
33. Сонин А.С. Постижение совершенства. М.: Высш. школа, 1987. 324 с.
34. Степакова В.В. Методическое пособие по черчению. Графические работы: Книга для учителя/ В.В. Степакова. М.: Просвещение, 2001. 93 с.: ил.
35. Тарасов Л.В. Симметрия в окружающем мире/Л.В. Тарасов. М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век!»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2005. 256 с.: ил.
36. Узоры симметрии /Под ред. М. Сенешаль, Дж. Флека. М.: Наука, 1977. 254 с.
37. Цейтен Г.Г. История математики в древности и средние века. ГТТИ, 1932. 402 с.
38. Шарыгин И.А., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. М.: Просвещение, 1995. 378 с.
39. Шафрановский И.И. Симметрия в природе. 2-е изд., перераб. Л.: Недра, 1985. 168 с.: ил.
40. Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. Изд. 3-е, доп. М.: Академия, 2004. 248 с.
41. Щетников А.И. Проблемы филлотаксиса./ hppt://www.nsu.ru/Pythagoras/Phyllotaxis.pdf