КОЛЕБАНИЯ ПРИ СУХОМ ТРЕНИИ.

Вопрос 2
Получить уравнения движения и проанализировать:
Уравнение (2) содержит нелинейное слагаемое. Тем не менее мы легко найдем решение этого уравнения, рассмотрев последовательные интервалы движения, на каждом из которых знак скорости постоянен. Отклоним груз в крайнее правое положение на величину А и отпустим его без начальной скорости. В этом случае:
(3)
Под действием натяжения пружины на первом этапе груз двигается влево и уравнение движения будет:

или с учетом обозначений:
и
(4)
Коэффициент, а представляет собой отклонение груза под действием максимально возможной силы трения. При отклонении груза на величину, меньшую или равную а, движение не начнется, так как силы упругости пружины недостаточно для преодоления силы трения (полоса а < х < а называется зоной застоя). Поэтому уравнение (4) имеет место при А > а. Общее решение уравнения (4) имеет вид:

Определяя постоянные из начальных условий (3), поучаем:
(5)
Закон движения (5) справедлив, пока х < 0, Так как:
,
то скорость движения будет отрицательной до момента времени t1 определяемого из условия:
.

Вопрос 1
Рассмотреть колебания груза массой m на плоскости:
Сухое трение. Рассмотрим движение упруго закрепленного груза массой m по шероховатой поверхности (рис.1).

Рис.1
Сила трения, действующая на груз, постоянна по величине и направлена против движения. Уравнение свободных колебаний такой системы имеет вид:
(1)
где знак плюс соответствует этапу движения, на котором скорость положительна, а знак минус этапу движения, на котором скорость отрицательна. Зависимость от х полной действующей на груз силы F=сx ± R0 показана на рис.2.

Рис.2
Запишем уравнение (1) в форме:
(2)
Функция sgn х есть единичная функция, имеющая знак аргумента.
При:
,

Список литературы

1. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний, 1980.
2. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний, 1980.
3. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустрель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний, 1978.
4. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле, 1967.
5. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения, 1985.
6. Гуляев В.И., Баженов В.А., Попов С.Л. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем, 1989.
7. Светлицкий В.А., Стасенко И.В. Сборник задач по теории колебаний, 1973.