К.Р. по математике (методы вычислений) Вариант 1.

Задание 1.
Составьте таблицу значений функции на отрезке с шагом h. В значениях функции сохраняйте три знака в дробной части. И вычисления потом ведите, сохраняя три знака в дробной части чисел.
Используя квадратичную интерполяцию по полученной таблице, вычислите значение функции в точке . Вычисления проведите двумя способами:
1) по формуле Лагранжа,
2) по формуле Ньютона.
Сделайте рисунок, на котором изобразите точки таблицы.
Номер варианта Функция Отрезок Шаг
1

h = 0,3


Решение:
составим таблицу значений функции на отрезке с шагом h = 0,3:
i


0 -2 0,012
1 -1,7 0,024
2 -1,4 0,046
3 -1,1 0,089
4 -0,8 0,172
5 -0,5 0,333
6 -0,2 0,644
7 0,1 1,246
8 0,4 2,408
9 0,7 4,656
10 1 9,000

Используя квадратичную интерполяцию по полученной таблице, вычислим значение функции в точке :
1) , где - любые три точки. Возьмем три ближайшие к точке точки: , тогда

2) , где
, а выражения вида .
Возьмем три точки ближайшие к точке , т.е. точки , получим:

,
и, следовательно,
.
Сделаем рисунок:


Задание 2.
Выпишите таблицу значений функции из задачи 1. Найдите полином (многочлен) второй степени, аппроксимирующий эту таблицу.
Найдите значение этого полинома в точке .
Все вычисления выполняйте с тремя знаками в дробной части.
Сделайте рисунок, на котором изобразите точки таблицы и график аппроксимирующего многочлена. Посчитайте значение величины:
,
оценивающей близость аппроксимационного многочлена к данной таблице. В этой формуле , - значение аппроксимационного многочлена в узле таблицы , n число точек, по которым считается значение .
Решение:
i


0 -2 0,012
1 -1,7 0,024
2 -1,4 0,046
3 -1,1 0,089
4 -0,8 0,172
5 -0,5 0,333
6 -0,2 0,644
7 0,1 1,246
8 0,4 2,408
9 0,7 4,656
10 1 9,000

Найдем полином второй степени, аппроксимирующий эту таблицу по формуле Ньютона: возьмем для этого первые три точки
, тогда
,

и получим:

т.е.
вычислим значение полученного полинома в точке :
.
Сделаем рисунок:

Задание 1.
Составьте таблицу значений функции на отрезке с шагом h. В значениях функции сохраняйте три знака в дробной части. И вычисления потом ведите, сохраняя три знака в дробной части чисел.
Используя квадратичную интерполяцию по полученной таблице, вычислите значение функции в точке . Вычисления проведите двумя способами:
1) по формуле Лагранжа,
2) по формуле Ньютона.
Сделайте рисунок, на котором изобразите точки таблицы.
Номер варианта Функция Отрезок Шаг
1 y=3^2x [-2,1] h = 0,3

Задание 2.
Выпишите таблицу значений функции из задачи 1. Найдите полином (многочлен) второй степени, аппроксимирующий эту таблицу.
Найдите значение этого полинома в точке .
Все вычисления выполняйте с тремя знаками в дробной части.
Сделайте рисунок, на котором изобразите точки таблицы и график аппроксимирующего многочлена. Посчитайте значение величины:
,
оценивающей близость аппроксимационного многочлена к данной таблице. В этой формуле , - значение аппроксимационного многочлена в узле таблицы , n число точек, по которым считается значение .

Задание 3.
Графически отделите корень и укажите приближенное значение корня данного уравнения.
Это значение корня уточните до точности двумя способами: методом Ньютона и методом итераций.
Все вычисления выполняйте с четырьмя знаками в дробной части.
Если уравнение имеет более одного корня, то все, что нужно сделайте только с любым одним из корней.
Номер варианта Уравнение
1 e^(-0.5x)=0.8x^2

Задание 4.
Вычислите интеграл двумя способами: методом Симпсона (с n = 10) и методом Гаусса (с n = 5).
Все вычисления выполняйте с пятью знаками в дробной части.

Задание 5.
Решите численно методом Эйлера или методом Рунге-Кутта задачу Коши для дифференциального уравнения

на отрезке с шагом h = 0,1 и начальным условием , где k номер варианта.
Все вычисления выполняйте с тремя знаками в дробной части.
Изобразите график полученного решения.

нет