Математическая логика и теория алгоритмов - контрольная работа (11 заданий)..

Решение Задания 1:
Функция g(x1,x2,,xn) является примитивно рекурсивной, так как получается из примитивно рекурсивных функций Ik(x1,x2,,xn) = xk (1  k  n) и f(x1,x2,,xn) с помощью операции суперпозиции (или подстановки):

g(x1,x2,,xn) = f(I2(x1,x2,,xn), I1(x1,x2,,xn), I3(x1,x2,,xn),, In(x1,x2,,xn))

Функция f(x1,x2,,xn) является примитивно рекурсивной по условию. Функции Ik(x1,x2,,xn) = xk (1  k  n) являются примитивно рекурсивными по определению.
Что и требовалось доказать.

Решение Задания 2:
Функция P(x,y) является общерекурсивной, так как получается из общерекурсивных функций o(x) = 0 и S(x,y) = x + y с помощью операции примитивной рекурсии:
P(x,0) = x0 = 0 = o(x)
P(x,y+1) = x(y+1) = xy + x = P(x,y) + x = S(P(x,y),x)

Функция S(x,y) = x + y является общерекурсивной, так как получается из общерекурсивных функций s(x) = x + 1 и I1(x) = x с помощью операции примитивной рекурсии:

S(x,0) = x + 0 = x = I1(x)
S(x,y+1) = x + (y+1) = (x + y) + 1 = S(x,y) + 1 = s(S(x,y))

Функции o(x) = 0, s(x) = x + 1 и I1(x) = x являются общерекурсивными по определению.
Что и требовалось доказать.

Задание 1. Доказать, что если функция f(x1,x2,,xn) примитивно рекурсивна, то примитивно рекурсивна функция g(x1,x2,,xn) = f(x2,x1,,xn), т.е. перестановка аргументов.

Задание 2. Доказать, что следующая функция общерекурсивна. P(x,y)=xy

Задание 3. Доказать, что следующая функция общерекурсивна sgn(x), если
sgn(x)=1, если x0
sgn(x)=0, если x=0

Задание 4. Построить машину Тьюринга, которая применима ко всем словам в алфавите и {a0,a1,a2} делает следующее: любое слово x1x2xn, где xi=a1 или xi=a2 (i=1,2,,n), преобразует в слово x2x3xnx1.

Задание 5. Применяя правило подстановки, доказать, что доказуема формула
(AB)&BB
Задание 6. Применяя правило подстановки и правило заключения, доказать, что доказуема формула
AvAA

Задание 7. Применяя производные правила вывода, показать, что доказуема формула
(AB)(AAvB)
Задание 8. Доказать, что H = {AB, BC} |- AC

Задание 10. Опишите машину Тьюринга, выполняющую операцию:
К (копирование) q101x00x0 | q001x01x0.

Задание 11. Опишите машину Тьюринга, выполняющую операцию:
Умножение: q101x+101y+10 | q0 01xy+10.

Задание 11. Опишите машину Тьюринга, выполняющую операцию:
Л (стирающая машина): q101x0 | q000x0.

Задание 12. По таблицам истинности найдите формулы, определяющие функции , , , . Упростите их. Постройте их КНФ, СКНФ, ДНФ, СДНФ. Для упрощенных формул постройте РКС.