Математические основы дискретных систем. Решение 6 заданий..

Задание 1
Для логической функции Y(x1, x2, x3, x4), заданной таблицей истинности, составить совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ) и совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ). Полученные выражения функции минимизировать с помощью законов алгебры логики.

N x1 x2 x3 x4 Y
1 0 0 0 0 0
2 1 0 0 0 1
3 1 1 0 0 0
4 0 1 0 0 1
5 0 1 1 0 0
6 1 1 1 0 1
7 1 0 1 0 0
8 0 0 1 0 1
9 0 0 1 1 0
10 1 0 1 1 1
11 1 1 1 1 0
12 0 1 1 1 1
13 0 1 0 1 0
14 1 1 0 1 1
15 1 0 0 1 0
16 0 0 0 1 1
Решение:
Для построения СДНФ с помощью таблиц истинности су¬ществует алгоритм:
1. необходимо выбрать из таблицы истинности функции все наборы аргументов, на которых функция принимает значения «1»;
2. выписать элементарные конъюнкции, соответствующие этим наборам элементов; если xi входит в данный набор как 1, он вписывается без изменения в конъюнкцию, если xi входит в дан¬ный набор как 0, то в конъюнкцию вписывается отрицание xi (т.е. );
3. все полученные элементарные конъюнкции соединяются между собой знаками дизъюнкции - .
Запишем СДНФ данной функции:

Для построения СКНФ с помощью таблиц истинности су¬ществует алгоритм:
1. необходимо выбрать из таблицы истинности функции все наборы аргументов, на которых функция принимает значение «0»;
2. выписать элементарные дизъюнкции, соответствующие этим наборам элементов; если xi входит в данный набор как 0, он вписывается без изменения в дизъюнкцию, если xi входит в дан¬ный набор как 1, то в дизъюнкцию вписывается отрицание xi (т.е. );

Задание 1
Для логической функции Y(x1, x2, x3, x4), заданной таблицей истинности, составить совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ) и совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ). Полученные выражения функции минимизировать с помощью законов алгебры логики.

Задание 2
На множествах А (|A| = 6), В (|B| = 7), С (|C| = 5) заданы отношения R  A  B
и Q  B  C в виде матриц смежности. Требуется:
1. Получить матрицу смежности композиции R  Q.
2. Изобразить графы отношений R, Q и R  Q.
3. Определить, является ли каждое из отношений R, Q и R  Q:
а) полностью определенным; б) сюръекцией; в) инъекцией; г) функцией;
д) биекцией.

Задание 3
Ориентированный граф G с множеством вершин V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} задан списком дуг E = {(1, 6), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 6),
(4, 2), (5, 1), (5, 6), (5, 6), (5, 6), (7, 4), (7, 6)}.

Требуется:
1. Построить реализацию графа G.
2. Составить матрицу инциденций графа G.
3. Составить матрицу смежности графа G.
4. Составить матрицу смежности ассоциированного неориентированного графа G .
5. Построить списки смежности графов G и G .

Задание 4
Взвешенный неориентированный граф G с множеством вершин V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} задан матрицей весов ребер.

Требуется:
1. Построить реализацию графа G.
2. Выбрать наилегчайший остов графа G.

Задание 5
Задан взвешенный неориентированный граф G в виде решетки с квадратными ячейками. Узлы решетки являются вершинами графа. Веса ребер помечены числами. Требуется найти кратчайший путь из левого верхнего угла решетки в нижний правый угол.

Задание 6
Разработать универсальную программу для обработки двух отношений, заданных на одном множестве A (|A| = 6). В программе предусмотреть:
1. Генерацию, ввод, редактирование, загрузку из файла и сохранение в файле матриц исходных отношений.
2. Вычисление обратного отношения.
3. Вычисление дополнения отношения.
4. Вычисление объединения отношений.
5. Вычисление пересечения отношений.
6. Вычисление композиции отношений.
7. Вывод исходных и результирующих отношений в виде матриц и графов.

Литература
1. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмческий подход.
2. Харари Ф. Теория графов.
3. Новиков Ф.А., Дискретная математика для программистов