Математика, Части 1, 2 -я аналитическая геометрия, линейная алгебра и математический анализ, теория вероятностей и математическая статистика.

Контрольные упражнения по курсу

для студентов заочной формы обучения по специальностям экономики и менеджмента



«МАТЕМАТИКА»

Часть 1я аналитическая геометрия,

линейная алгебра и математический анализ



Тема 1. Декартова прямоугольная система координат

1. На оси координат найти точку, через которую проходит прямая, соединяющая точки (3;2) и (2;8).

Решение: Найдем уравнение прямой, проходящей через точки и , получим: ,



Если , то . Следовательно, точка , через которую проходит прямая имеет координаты .

Ответ:

2. По данным вершинам треугольника A(9;1), B(5;0) и C(5;7) определить угловые коэффициенты медианы, проведенной из вершины B., и высоты, опущенной из вершины A.

Решение: Пусть середина отрезка , тогда .

Построим , и уравнение медианы .



Построим

Тогда уравнение высоты



Ответ:

3. По координатам трех вершин ромба A(1;4), B(3;1) и C(4;0) определить координаты четвертой вершины.

Решение: Найдем уравнения сторон ромба AC и AB. Для этого найдем вектора:

Пусть D вершина ромба.

Построим уравнение прямой



Построим уравнение прямой



Найдем точку пересечения прямых CD и BD.



Ответ: D(0;3) вершина ромба.



Тема 2. Прямая линия

1. Написать уравнения перпендикуляров к прямой , проходящих через концы отрезков, отсекаемых этой прямой на осях координат.

Решение: Напишем уравнение прямой в «отрезках»



Следовательно, прямая по оси OX отсекает отрезок, конец которого имеет точку A(5;0), а по оси OY отрезок, конец которого имеет точку B(0;3).



Найдем уравнение искомой прямой , проходящей через точку A(5;0) перпендикулярно в каноническом виде:



Найдем уравнение искомой прямой , проходящей через точку B(0;3), перпендикулярно в каноническом виде:



Ответ:





«МАТЕМАТИКА»

Часть 2я теория вероятностей и математическая статистика



I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ



Тема 1. Основные определения и теоремы

1. Номер серии выигрышного билета вещевой лотереи состоит из пяти цифр. Определить вероятность того, что номер первой выигравшей серии будет состоять из одних нечетных цифр.

Решение: В номере используются цифры: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Пусть 0 четное число, тогда вероятность появления в какомлибо разряде серии нечетного числа равна , т.к. нечетных цифр 5 штук. Таким образом, вероятность появления нечетной серии равна .

Ответ: .

2. Рабочий обслуживает 3 станка. Известно, что вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки равна для первого станка 0,9, для второго - 0,8 и для третьего - 0,7. Найти вероятность того, что за этот час лишь один станок потребует вмешательства рабочего.

Решение:

Пусть событие А хотя бы один станок потребует вмешательства рабочего. Тогда

.

Ответ: искомая вероятность.

3. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,15. Какова вероятность того, что, по крайней мере, один из четырех билетов выиграет?

Решение: По формуле Бернулли ( , где вероятность выигрыша, соответственно вероятность проигрыша, число независимых испытаний, событие наступит ровно раз.)

Имеем, вероятность того что выигрыш состоится 1 или более раз равно



Ответ:

4. В партии из 100 одинаковых по наружному виду изделий смешаны 40 штук I сорта и 60 штук II сорта. Найти вероятность того, что взятые наудачу два изделия окажутся а) одного сорта, б) разных сортов.

Решение: Пусть событие A отобрано изделие I сорта, B отобрано изделие II сорта. Тогда

II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА



Тема 5. Выборка и ее распределения.

1. Проверено 3000 патронов из всего их выпуска. При этом доля брака составила 0,15. Найти вероятность того, что отклонение доли брака в выборке от генеральной доли не превышает по абсолютной величине 0,01, если выборка повторная.

Решение:

Пусть случайная величина Х доля брака распределена нормально с параметрами (0, 0,15). Математическое ожидание случайной величины равно нулю, поэтому применима формула , где заданная величина отклонения (ошибки), среднеквадратическое отклонение случайной величины. В итоге находим, что , где значение найдено из таблицы значений функции Лапласа. Искомая вероятность .

Ответ: Искомая вероятность равна 0,004.

2. По данным выборки, представленным вариационным рядом:



1 2 5 8 9

частоты

3 4 6 4 3

найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию .

Решение:



где



Ответ:





Тема 7. Регрессионный и дисперсионный анализ.

1. Данные статистической обработки сведений по двум основным показателям (х) и (у) отражены в корреляционной таблице.

Х

Y 50

60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 Итого

50 2 1 3

60 1 2 1 1 5

70 3 3 1 1 8

80 1 1 5 3 2 12

90 1 6 5 9 5 2 1 1 30

100 1 6 6 20 8 2 1 44

110 1 3 9 15 6 4 1 1 2 42

120 1 8 5 6 2 1 1 2 26

130 4 4 3 5 4 20

140 4 1 1 2 8

150 1 2 3 6

160 1 1 2 1 1 4 10

Итого 6 7 4 19 31 61 31 24 8 4 5 14 214

Найти уравнение прямой регрессии у по х и определить коэффициент корреляции.

Решение:

Составим корреляционную таблицу 1, выбрав в качестве ложных нулей (каждая из вариант расположена в середине соответствующего вариационного ряда).

Таблица 1.

u(t)

v(t) 5

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Итого





5 2 1 3

4 1 2 1 1 5

3 3 3 1 1 8

2 1 1 5 3 2 12

1 1 6 5 9 5 2 1 1 30

0 1 6 6 20 8 2 1 44

1 1 3 9 15 6 4 1 1 2 42

2 1 8 5 6 2 1 1 2 26

3 4 4 3 5 4 20

4 4 1 1 2 8

5 1 2 3 6

6 1 1 2 1 1 4 10

Итого

6 7 4 19 31 61 31 24 8 4 5 14 214

Найдем условные варианты и :



.

Найдем вспомогательные величны и :



.

Найдем и :

,

.

Найдем величину , для чего составим расчетную таблицу 2. Суммируя числа последнего столбца или последней строки таблицы 2, находим .

Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции:

.

Теперь найдем средние значения, учитывая, что и шаги (разности между любыми двумя соседними вариантами):



и среднеквадратические отклонения:



Подставив найденные величины в соотношение , получим искомое выборочное уравнение регрессии Y на X. Получаем:

или



Ответ:

Таблица 2.

u(t)

v(t)

5

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6





5 10 2

10 5

1

4

14

70

4 4

1

5 8

2

8 4

1

2 4

1

1

16

64

3 9

3

15 9

3

12 3

1

3 3

1

2

32

96

2 2

1

3 2

1

2 10

5

5 6

3

0 4

2

2

8

16

1 1

1

3 6

6

12 5

5

5 9

9

0 5

5

5 2

2

4 1

1

4 1

1

6

1

1

0 0

1

3 0

6

12 0

6

6 0

20

0 0

8

8 0

2

4 0

1

4

5

0

1 1

1

4 3

3

6 9

9

9 15

15

0 6

6

6 4

4

8 1

1

3 1

1

4 2

2

12

14

14

2 2

1

2 16

8

0 10

5

5 12

6

12 4

2

6 2

1

4 2

1

5 4

2

12

42

84

3 12

4

4 12

4

0 9

3

3 15

5

10 12

4

12

21

63

4 16

4

8 4

1

3 4

1

5 8

2

12

28

112

5 5

1

0 10

2

10 15

3

18

28

140

6 6

1

1 6

1

0 12

2

2 6

1

2 6

1

5 24

4

24

32

192



23 21 6 10 8 39 28 51 21 2 22 52 852



115 84 18 20 8 0 28 102 63 8 110 312 852 =



2. Распределение имеющихся на участке 400 молодых сосен по общей длине ствола в сантиметрах (х) и длине его части без ветвей (у) дается в следующей таблице:

Х

Y 14 18 22 26 зо 34 38 42 Итого

25 17 5 22

45 15 35 25 7 82

65 1 1 39 15 56

85 5 1 15 31 17 69

105 7 3 51 61

125 5 35 13 53

145 19 33 5 57

Итого 38 42 86 56 73 54 46 5 400

По этим данным определить коэффициент корреляции.

Решение:

Составим корреляционную таблицу 3, выбрав в качестве ложных нулей (каждая из вариант расположена в середине соответствующего вариационного ряда).

Таблица 3.

Х

Y 2 1 0 1 2 3 4 5 Итого

1 17 5 22

0 15 35 25 7 82

1 1 1 39 15 56

2 5 1 15 31 17 69

3 7 3 51 61

4 5 35 13 53

5 19 33 5 57

Итого 38 42 86 56 73 54 46 5 400



Найдем условные варианты и :



.

Найдем вспомогательные величины и :



.

Найдем и :

,

.

Найдем величину , для чего составим расчетную таблицу 4. Суммируя числа последнего столбца или последней строки таблицы 4, находим .

Таблица 4.

u(t)

v(t) 2 1 0 1 2 3 4 5





1 17

17

34 5

5

5

39

39

0 0

15

30 0

35

35 0

25

0 0

7

7

58

0

1 1

1

2 1

1

1 39

39

0 15

15

15

12

12

2 10

5

10 2

1

1 30

15

0 62

31

31 34

17

34

54

108

3 21

7

0 9

3

3 153

51

102

105

315

4 20

5

10 140

35

105 52

13

52

167

668

5 95

19

57 165

33

132 25

5

25

214

1070



6 2 90 86 207 235 217 25 2212



12 2 0 86 414 705 868 125 2212 =



Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции:

.



Ответ:

3. По данным о значениям х и у найти параметры a и b по способу наименьших квадратов, полагая, что х и у связаны зависимостью вида у=ах+b.

х 0 1 2 3 4 5

y 4,6 6,3 8,4 9,3 11,7 13,2

Решение:

Воспользуемся простейшей линейной моделью вида:

.

Параметры данной модели оценим по методу наименьших квадратов (МНК).

Для линейной модели параметры:

,

где среднее значение фактора времени; среднее значение исследуемого показателя , где N=6.

Найдем указанные величины:





Таким образом, параметры a и b и сама линейная регрессионная модель будут иметь вид: .

Ответ:

4. Рост производительности труда на предприятии за пять лет отражен в следующей таблице:

Годы 1 2 3 4 5

Среднее количество деталей,

выпускаемых рабочим за смену 235 250 270 292 300

Полагая, что рост производительности труда следует линейной зависимости у=ах+b, найти по этим данным параметры а и b, применив способ наименьших квадратов.

Решение:

Для отражения тенденции изменения производительности труда воспользуемся простейшей линейной моделью вида:

.

Параметры прямой роста оценим по методу наименьших квадратов (МНК).

Для линейной модели параметры:

,

где среднее значение фактора времени; среднее значение исследуемого показателя , где N=5.

Найдем указанные величины:

.



Таким образом, рост производительности труда на предприятии за пять лет изменяется по закону .

Ответ: .

1.Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник под ред. В.И.Ермакова. М., ИНФРА-М, 2003.

2.Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. М., АСТ, 2003.

3.Воронов М.В., Мещерякова Г.П. Математика для студентов гуманитарных факультетов. Ростов на Дону, Феникс, 2002.

4.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., Высшая школа, 2001.

5.Жолков С.Ю. Математика и информатика для гуманитариев. М., Гардарики, 2002.