Методы решения задач фильтрации газа с помощью уравнения материального баланса .

ВВЕДЕНИЕ Многие процессы в гидрологии и нефтяной инженерии приводят к задачам двухфазного течения с "распределенными" в пространстве фазовыми переходами в пористой среде, происходящими не на отдельной поверхности, как, например, в классической задаче Стефана, а в пространственной области. Это имеет место всегда, когда флюид состоит из нескольких химически различных компонентов, находящихся в различных агрегатных состояниях. Типичными примерами является выделение газа при течении насыщенной нефти, углеводородного конденсата при течении природного газа, образование твердой серы при фильтрации сероводородсодержащего газа, выделение кислых газов при течении минерализованных растворов подземной воды. Формирование двухфазных течений весьма характерно для процессов нефте- и газодобычи. Подобные течения формируются, во-первых, в тех случаях, когда происходит высвобождение растворенного газа, во-вторых, когда происходит естественное или искусственное вытеснение углеводородов. Обычно вытесняющим агентом служит вода, а сам процесс называется заводнением. Подвижность нефти в пласте во многом зависит от количества растворенного в ней газа. Растворимость же газа в нефти определяется давлением (и температурой как постоянным пластовым параметром, но не параметрами процесса течения). Для того, чтобы поддержать пластовое давление и, как следствие, удержать газ, присутствующий в нефтяных или водных подземных резервуарах, на практике широко применяется метод заводнения. По этой причине возникает потребность в математическом моделировании процессов вытеснения двух несмешивающихся жидкостей. Одной из первых моделей, описывающих двухфазные течения, явилась одножидкостная модель “разноцветных жидкостей” [Герольд С.П., 1932]. В рамках подобных моделей предполагалось, что область фильтрационного течения полностью заполнена однородной жидкостью с неизменными характеристиками, например, такими же, как у вытесняемой жидкости – нефти. Вытесняющая и вытесняемая жидкости отличаются при этом только цветом, т.е. фактически прослеживается перемещение первоначальной границы раздела жидкостей при известном поле давлений. В работах [Куфарев П.П., 1948] эта модель усовершенствована путем пренебрежения зависимостью от давления плотности воды и предположения полного взаимного вытеснения жидкостей. Модели подобного рода называются моделями “поршневого” вытеснения. Одномерная модель фильтрации с использованием фазовых проницаемостей и в предположении несжимаемости флюида была исследована Бакли и Левереттом [Buckley S.E., Leverett M.C., 1942], которые выявили наличие скачка насыщенности на фронте вытесняющей жидкости, что указывало на гиперболическую природу уравнений для насыщенности. Классические модели двухфазной фильтрации, такие как модели Бакли-Леверетта и Раппопорта-Лиса [Rappoport L.A., Leas W.I., 1953] предполагают зависимость функций фазовых проницаемостей и капиллярного давления только от насыщенности. Уравнения течения неоднородных жидкостей в общих предположениях были даны М. Маскетом и М. Мересом [Chungshiang P.P., 1990], рассматривающих изотермические процессы при наличии 3-х фаз (вода, жидкость, газ), находящихся в фазовом равновесии. Система настолько сложна, что решения могут быть получены, как правило, только численными методами. Модели, основанные на уравнениях Маскета-Мереса, принято называть моделями черной нефти (black oil model). Их применение в некоторых случаях, например, при истощении газоконденсатных месторождений, невозможно, поскольку возникают эффекты фазовых переходов, существенно зависящие от компонентного состава углеводородной фазы и термобарических условий фильтрации. Для этой цели используют так называемые композиционные модели, использующие сложные уравнения состояния смеси и коэффициенты распределения (константы фазового равновесия) [Николаевский В.Н., 1996]. В случае двухфазной фильтрации, уравнения баланса масс каждого компонента записываются для каждой фазы отдельно. При этом, в рамках использования методов термодинамики необратимых процессов, уравнения содержат источники, пропорциональные разности химических потенциалов компонент в различных фазах. Если устанавливается равенство химических потенциалов компонент, присутствующих в обеих фазах, то это значит, что система пришла в термодинамическое равновесие. Пусть система состоит из k компонент и j фаз. Тогда, полное число переменных является суммой числа концентраций j(k-1), числа насыщенностей фаз j-1 плюс два: j(k-1)+(j-1) + 2 = jk+1. Две дополнительные переменные учитывают давление и температуру в пласте. В условиях локального термодинамического равновесия эти переменные взаимосвязаны равенствами химических потенциалов компонент присутствующих в фазах. Всего таких равенств будет k(j-1). При этом число необходимых уравнений баланса масс компонент, содержащихся в смеси уменьшается и равно просто числу компонент k. Таким образом, число независимых переменных, соответствующих системе уравнений баланса масс компонентов, равно разности полного числа переменных и числа равенств химических потенциалов компонент присутствующих в фазах, т.е. (jk+1)-k(j-1) = k+1, что соответствует добавлению еще одного уравнения – баланса тепла. В изотермическом случае, когда T=const, число независимых переменных равно k, т.е. соответствует числу необходимых уравнений баланса масс компонент, содержащихся в смеси.

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 3 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 6 2. ПОСТРОЕНИЕ АВТОМОДЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 14 3. НЕАВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ 19 4. МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ 22 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 28 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 33

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. 464 стр. 2. Герольд С.П. Аналитические основы добычи нефти, газа и воды из скважин. М.-Л.: Нефтеиздат, 1932. 3. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979. 320 стр. 4. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 стр. 5. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. 272 стр. 6. Куфарев П.П. Решение задач о контуре нефтеносности для круга. Доклады АН СССР, 1948, N8, Т.60, стр.1333-1334. 7. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981. 398 стр. 8. Ломов С.А. Степенной пограничный слой в задачах с сингулярным возмущением, Изв. АН СССР, сер. Матем. 30, № 4 (1968), стр. 525-572. 9. Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидодинамика. Москва, Недра, 1996, 447 стр. 10. Buckley S.E., Leverett M.C. Mechanism of fluid displacement in sands // Trans. AIME. 1942. Vol.146, p.107-116. 11. Chungshiang P.P., Yanosik J.L., Stepenson R.E. A generalized compositional model for naturally fractured reservoir. SPE Reservoir Engineering, august 1990. 12. Pergament A.Kh., Koldoba A.V., Poveschenko Yu.A., Simous N.A. The mathematical modelling of the multi-phase flow in inhomogeneous media. // Proceedings 7th Europen Conference on the Mathematics of Oil Recovery. Baveno, Italy, september 2000. 13. Rappoport L.A., Leas W.I. Properties of linear waterfloods // Trans. AIME. 1953. Vol.198, p.139-148. 14. Radvogim Yu.B. The characteristic properties of the two-component filtration equatiens. Moscow, Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., Rus. Acad. of Sciences, 2001, N 37, p.14 (in Russian).