Многокритериальные задачи оптимизации..

Введение
Одной из важных составляющих современных процессов в технических и экономических системах явля¬ется постоянная необходимость принятия неформальных решений, т.е. выбо¬ра некоторой альтернативы из нескольких возможных вариантов. При этом лицу, принимающему решение (ЛПР), приходится опираться или на накоп¬ленный опыт (эвристический подход), или формализовать процесс выбора, сводя проблему за счет некоторых допущений к решению задачи оптимизации (в общем случае - многокритериальной).
Однако указанные подходы к решению проблемы выбора имеют существенные недостатки. Действительно, эвристический подход, реализация которого на ЭВМ сводится к проблеме построения систем искусственного интеллекта, на современном уровне не может охватить всего раз¬нообразия возникающих при проектировании ситуаций (из-за недостаточно¬сти накопленного опыта, сложности идентификации ситуации и ограничен¬ности ресурсов вычислительной техники).
С другой стороны, использование метода оптимизации связано:
с применением не всегда оправданных искусственных допущений для скрытия возникающих неопределенностей,
со сложностью применяемого математичесого аппарата, что требует от инженеров математической подготовки достаточно высокого уровня.
Вместе с тем, очевидно, что правильный или неправильный выбор альтернативы, который постоянно приходится делать при проектировании или подготовки решения, будет оказывать в той или иной степени влияние на весь процесс реализации проекта.
Исследования существующих систем принятия решений показали, что наиболее близкими к проблеме принятия решений являются системы, основанные на применении математического аппарата многокритериальной оптимизации.
К математическим проблемам решения задач многокритериальной оптимизации было привлечено внимание многих исследователей. Основные результаты в этом направлении связаны с работами Гермейера Ю. Б., Моисеева Н. Н.; Емельянова С. В., Михалевича В. С., Краснощекова П. С., Ларичева О. И. и других.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОПТИМИЗАЦИИ
1.1 Основные элементы теории оптимизации

Развитие технических и экономических систем ставит перед специалистами задачу эффективного или, что более точно, оптимального решения возникающих проблем. Это явление общераспространенное, так как человек в своей повседневной деятельности незаметно для себя самого стремится сделать все рационально-целесообразным образом, то есть осуществить процесс оптимизации решаемой проблемы - найти наилучший вариант решения из возможных в рассматриваемой ситуации.
Оптимизация это некое искусство, работа, требующая квалифицированного и изобретательного использования самых разнообразных приемов; и хотя ее результаты служат вполне практическим целям, процесс ее выполнения дает простор как эстетическим, так и практическим склонностям.
В основу управления процессом оптимизации положен принцип оптимальности, который может быть определен следующим образом: Оптимальное управление обладает тем свойством, что, каково бы ни было начальное состояние и начальное управление, последующее управление должно быть оптимальным по отношению к состоянию, получающемуся в результате действия начального управления. Оптимальное управление, в самом широком смысле понимания, есть та ключевая точка решения всех возникающих перед человечеством проблем.
Таким образом, термином «оптимизаци» в литературе обозначают процесс или последовательность операций, позволяющих получить уточненное решение. Хотя конечной целью оптимизации является отыскание наилучшего или «оптимального» решения, обычно приходится довольствоваться улучшением известных решений, а не доведением их до совершенства. Поэтому под оптимизацией понимают скорее стремление к совершенству, которое, возможно, и не будет достигнуто.
Задача принятия решения состоит в выборе среди множества возможных решений (их называют также вариантами, планами и т. п.) такого решения, которое являлось бы в определенном смысле лучшим или, как говорят, оптимальным.
Удобно считать, что выбор решения производит некоторое лицо, принимающее решение (ЛПР), которое преследует вполне определенные цели. В зависимости от конкретной ситуации в роли лица, принимающего решение, может выступать как отдельный человек (инженер, научный сотрудник и т. п.), так и целый коллектив (группа специалистов, занятая решением одной задачи).
Каждое возможное решение характеризуется определенной степенью достижения цели. В соответствии с этим у лица, принимающего решение, имеется свое представление о достоинствах и недостатках решений, на основании которого одно решение, предпочитается другому. Оптимальное решение - это решение, которое с точки зрения лица, принимающего решение, предпочтительнее других возможных решений. Таким образом, понятие оптимального решения связано с предпочтениями лица, принимающего решение. Эти предпочтения на практике выражаются в различной форме, и их математическая формализация может составить сложную задачу, поскольку лицо, принимающее решение, как правило, не может ясно и четко сформулировать их.
Цель теории принятия решений и состоит в разработке методов, которые помогли бы лицу, принимающему решение, наиболее полно и точно выразить свои предпочтения в рамках соответствующей математической модели и в конечном счете обоснованно выбрать действительно оптимальное решение.
Прежде чем приступить к рассмотрению вопросов оптимизации, введем ряд определений.
Проектные параметры (искомые переменные). Этим термином обозначают независимые переменные параметры, которые полностью и однозначно определяют решаемую задау проектирования.
Проектные параметры - неизвестные величины, значения которых вычисляются в процессе оптимизации. В качестве проектных параметров могут служить любые основные или производные величины, служащие для количественного описания системы. Так, это могут быть неизвестные значения длины, массы, времени, температуры. Число проектных параметров характеризует степень сложности данной задачи проектирования. Обычно число проектных параметров обозначают через п, а сами проектные параметры через х с соответствующими индексами. Таким образом п проектных параметров данной задачи будем обозначать через
, (1.1)
Целевая функция (критерий качества). Это выражение, значение которого ЛПР (лицо, принимающее решение) стремится сделать максимальным или минимальным. Целевая функция позволяет количественно сравнить два альтернативных решения. С математической точки зрения целевая функция описывает некоторую (n+1)-мерную поверхность. Ее значение определяется проектными параметрами
, (1.2)
Примерами целевой функции, часто встречающимися в инженерной практике, являются стоимость, вес, прочность, габариты, КПД. Если имеется только один проектный параметр, то целевую функцию можно представить кривой на плоскости. Если проектных параметров два, то целевая функция будет изображаться поверхностью в пространстве трех измерений. При трех и более проектных параметрах поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изображению обычными средствами. Топологические свойства поверхности целевой функции играют большую роль в процессе оптимизации, так как от них зависит выбор наиболее эффективного алгоритма.
Целевая функция в ряде случаев может принимать самые неожиданные формы. Например, ее не всегда удается выразить в замкнутой математической форме, в других случаях она может представлять собой кусочно-гладкую функцию. Для задания целевой функции иногда может потребоваться таблица технических данных (например, таблица состояния водяного пара) или может понадобиться провести эксперимент. В ряде случаев проектные параметры принимают только целые значения. Иногда проектные параметры имеют только два значения - да или нет. Качественные параметры, такие как удовлетворение, которое испытывает приобретший изделие покупатель, надежность, эстетичность, тоже возможно учитывать в процессе оптимизации, хотя их сложно охарактеризовать количественно. Однако в каком бы виде не была представлена целевая функция, она должна быть однозначной функцией проектных параметров.
В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Иногда одна из них может оказаться несовместимой с другой. Примером служит проектирование самолетов, когда одновременно требуется обеспечить максимальную прочность, минимальный вес и минимальную стоимость. В таких случаях конструктор должен ввести систему приоритетов и поставить в соответствие каждой целевой функции некоторый безразмерный множитель. В результате появляется «функция компромисса», позволяющая в процессе оптимизации пользоваться одной составной целевой функцией.

ВВЕДЕНИЕ 2
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОПТИМИЗАЦИИ 3
1.1 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ 3
1.2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ 6
2. ЗАДАЧА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ И МЕТОД СВЕРТЫВАНИЯ СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ 8
2.1 СУЩНОСТЬ ВЕКТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ 8
2.2 МЕТОД СВЕРТЫВАНИЯ ВЕКТОРНОГО КРИТЕРИЯ 11
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 13
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 14

Список использованных источников

1. Аоки М. Ведение в методы оптимизации. - М.: Наука. 1977. 344 с.
2. Беляков В.В., Бушуева М.Е., Сагунов В.И. Многокритериальная оптимизация. Нижний Новгород, 2001. 317 с.
3. Информатика (методы экспертных оценок, ранговая корреляция, конкордация, многокритериальная оптимизация): Метод. указ. / Сост. Ю.Л. Муромцев, Л.П. Орлова, Д.Ю. Муромцев. - Тамбов:ТГТУ, 1998. - 63с.
4. Электронный ресурс http://doc.unicor.ru/tt/034.html
5. Электронный ресурс http://www.nntu.ru/RUS/Amf/BOOK/content.htm
6. Электронный ресурс http://sapr.mgsu.ru/biblio/optimiz/opt.htm