Моделирование случайных величин. Распределение Вейбулла.

Задание на курсовую работу

1. На основе стандартного компьютерного датчика случайных чисел V(PПВ(0, 1)) c помощью метода обратной функции образовать выборку объема N случайной величины X, имеющей непрерывный закон распределения Вейбулла .
2. Представить выборку в виде:
а) вариационного упорядоченного ряда и графика эмпирической функции распределения N=200 (для непрерывных Х);
b) статистического ряда в форме группированных данных, полигона (для дискретных Х), гистограммы (для непрерывных Х), соответствующей эмпирической функции распределения .
3. Вычислить точечные оценки:
математического ожидания;
дисперсии (с.к.о.);
коэффициента асимметрии;
эксцесса.
4. Построить графики теоретических законов распределения (ряд распределения, функция распределения, плотность вероятности и сопоставить их с использованием критерия Пирсона с экспериментальным аналогами; вычислить числовые характеристики Х и сопоставить с их с оценками (см. п.3).
5. Сформулировать выводы о проделанной работе.
Указание: выполнить задание для 3х значений N=200, 500, 1000.

1. Теоретические предпосылки моделирования случайной величины, распределенной по закону Вейбулла
Осуществим моделирование случайной величины Х по заданному закону распределения. Для этого сгенерируем случайные числа, подчиняющиеся равномерному закону распределенных в интервале (0, 1) (базовая модель генерации в ЭВМ) и затем преобразуем эти числа по заданному закону распределения Вейбулла. Существует несколько методов преобразования. Ниже будет рассмотрен один из наиболее распространенных методов преобразования метод обратной функции.
Как известно, случайная величина Х описывается интегральной F(x) и дифференциальной f(x) функциями распределения. Зная одну из этих функций, можно предсказать поведение случайной величины во времени. Обе функции связаны между собой
f(x)=F(x).
Интегральная функция представляет собой вероятность того, что какое-то взятое фиксированное значение Х будет меньше текущего значения x F(x) = Р (Х x1 F(x2) > F(x1).
Соответственно, при P[F(x1) < F(x2)] = Р(х1 < х2), примем, что случайная величина r = F(x).
Найдем распределение этой величины Fr(r).
На основании приведенных выражений
Fr (r) = P(R < r) = P[F(X) < F(x)] = F (X < х) = F(x) = r, R = Fr (r)F(x). (1)
Согласно выражению (1), вероятность попадания случайной величины в интервал 0 r равна длине этого интервала, и это есть признак того, что данное распределение равномерное.
В результате получаем алгоритм формирования непрерывной случайной величины Х по заданному закону распределения. Поскольку ri = F ( xi ), то необходимо выполнить преобразование
Xi = F1 ( ri ), (2)
где r равномерно распределенное случайное число; F1 функция, обратная по отношению к распределению случайной величины X.
На основании выражения (2) можно моделировать случайные числа с заданным законом распределения.
Рассмотрим распределение Вейбулла . При мы получим дифференциальную функцию распределения вида , которая соответствует показательному закону распределения. Показательный закон описывает многие физические процессы: случайное время безотказной работы электронных и ряд других изделий, случайные моменты времени поступления заказов на предприятия, службы быта, вывозов на телефонные станции, поступления судов в отдельные порты, времена поиска неисправностей в аппаратуре и т.д.
Интегральная функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, определяется выражением:
.
Таким образом, F(x)=1eλx (x>0),
где λ=1/2 постоянная величина, параметр показательного распределения. В соответствии с выражением (2) имеем ri=1eλxi. Разрешив его относительно xi, получим xi= (1/λ)ln(1-ri) или в нашем случае
xi= 2ln(1-ri). (3)
Поскольку случайное число ri равномерно распределено в интервале (0, 1), то величины (1-ri), ri распределены одинаково. Поэтому для моделирования случайной величины, распределенной по показательному закону, можно использовать выражение xi = 2ln(ri.).
2. Построение дифференциальной и интегральной функций распределения
Основу обработки статистических данных составляет вероятностно-статистический метод. Любой числовой (временной) ряд состоит из членов, которые являются или результатами непосредственных наблюдений, или обобщения наблюдений за отдельные интервалы времени конкретных лет. Считается, что наблюдаемый ряд является реализацией случайного процесса и отражает его характерные особенности. Суть обработки таких данных заключается в том, чтобы на основании имеющегося временного ряда получить основные вероятностные закономерности, характерные для всего процесса. Для получения исчерпывающей и точной информации о вероятностных характеристиках изучаемого процесса необходимо иметь бесконечно большое число результатов наблюдений. Такое гипотетическое множество принято называть генеральной совокупностью. На практике же имеется лишь ограниченное число наблюдений. Ряд однородных наблюдений называется выборкой. Выборка должна отражать свойства генеральной совокупности с приемлемой точностью.
В случае большого объема информации можно произвести ее уплотнение. Для этого по результатам наблюдений определяют максимальное и минимальное значения временного ряда. Затем весь диапазон разбивается на количество интервалов и подсчитывается число наблюдений nk , попавших в интервал xk. По значениям nk получают относительные частоты значений в интервале по формуле , где N общее число наблюдений, К число интервалов. В некоторых случаях для характеристии распределения вычисляют относительную плотность попадания случайных величин в каждый интервал
.

I. Вычисления для выборки размером 200 наблюдений
Например, в нашем случае имеется именно такой ряд наблюдений (см. файл формата EXCEL, столбец B (N=200) сгенерированный по формуле (3)), разбитый на (столбец A) интервалов, ячейка Е1 минимальное значение случайной величины в выборке , ячейка D1 максимальное значение случайной величины в выборке , ячейка D3 длина интервала
.
Таблица 1.
Интервал
1 2 3 4 5 6 7 8
[0,010,95) [0,951,89) [1,892,83) [2,933,77) [3,774,71) [4,715,65) [5,656,59) [6,597,53)
Число попаданий (nk) 67 46 36 20 10 8 3 3
Частота значения (pk) 0,335 0,23 0,18 0,1 0,05 0,04 0,015 0,015
Плотность попадания (vk) 0,3565 0,2474 0,1915 0,1064 0,0532 0,0426 0,016 0,016
Интервал
9 10 11 12 13 14
[7,538,47) [8,479,41) [9,4110,35) [10,3511,29) [11,2912,23) [12,2313,167]
Число попаданий (nk) 3 2 0 0 1 1
Частота значения (pk) 0,015 0,01 0,0 0 0,005 0,005
Плотность попадания (vk) 0,016 0,0106 0,0 0,0 0,0053 0,0053

Рассчитанные таким образом значения можно представить в виде ступенчатой кривой графически: по оси абсцисс откладывают интервалы xk и на каждом из них строят прямоугольник, высота которого равна vk (столбец H файла EXCEL). Полученная кривая называется гистограммой распределения случайной величины (рис. 1).

1. Теоретические предпосылки моделирования случайной величины, распределенной по закону Вейбулла...4
2. Построение дифференциальной и интегральной функций распределения.................6
I. Вычисления для выборки размером 200 наблюдений...7
3. Числовые характеристики распределения.....9
4. Проверка статистической гипотезы о законе распределения критерием Пирсона.9
II. Вычисления для выборки размером 500 наблюдений14
III. Вычисления для выборки размером 1000 наблюдений.22
Заключение.....................32
Литература.....................33

1.Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. 507 с.
2. Л. Н. Шарова. Статистическое распределение Вейбулла в физиологических исследованиях. М.: Медицина, 1988. 132 с.
3.А. Лоу, В. Кельтон. Имитационное моделирование. СП.: Питер, 2004. 848 с.