Основные проблемы математической логики..

Введение

Актуальность настоящей работы. Ученые России и СССР внесли значительный вклад в развитие математической логики как классических, так и неклассических ее разделов. Стоит вспомнить, например, имена А.Н. Колмогорова, И.И. Жегалкина, М.И. Шейнфинкеля, В.И. Шестакова, П.С. Новикова, А.И. Мальцева, Ю. В. Матиясевича и др. если говорить об ее классических разделах, Н.А. Васильева, И.Е. Орлова, В.И. Гливенко, А.А. Маркова, Д.А. Бочвара, и др. если иметь в виду ее неклассические разделы. Конечно, разделение логиков на «классиков» и «неклассиков» достаточно условно. Так, А.Н. Колмогоров оставил выдающиеся результаты и в классических, и в неклассических разделах современной логики.
Со времен греков говорить «математика» значит говорить «доказательство». Некоторые сомневаются даже, что вне математики имеются доказательства в том точном смысле, какой имело это слово у греков, и какой математики придают ему. С полным правом можно сказать, что этот смысл не изменился. То, что было доказательством для Эвклида, остается доказательством и в глазах современной науки; а в эпоху, когда понятие доказательства было под угрозой, утраты и математика находилась из-за этого в опасности, образцы искали именно у греков. Разумеется, что к наследию греков в течение последнего века прибавились новые важные завоевания.
Таким образом, математика и логика имеют теснейшие взаимосвязи, что позволяет выделить целый раздел математическую логику.
Цель настоящей работы исследовать основные проблемы математической логики.

1. Формализация.

Анализ механизма доказательств в хорошо подобранных математических текстах позволил раскрыть строение доказательств с точки зрения, как словаря, так и синтаксиса. Это привело к заключению, что достаточно ясный математический текст можно было бы выразить на условном языке, который содержит лишь небольшое число неизменных «слов», соединяемых друг с другом, согласно синтаксису, состоящему из небольшого числа не допускающих исключений правил; так выраженный текст называется формализованным. Например, запись шахматной партии с помощью обычной шахматной нотации это формализованный текст. Формулы обычной алгебры также будут формализованными текстами, если полностью кодифицировать правила, управляющие употреблением скобок, и строго их придерживаться; но в действительности некоторые из этих правил познаются лишь в процессе употребления, и этот же процесс санкционирует некоторые отступления от них.
Проверка формализованного текста требует лишь в некотором роде механического внимания, так как единственно возможные источники ошибок это длина или сложность текста. Вот почему математик большей частью доверяет собрату, сообщающему результат алгебраических вычислений, если только известно, что эти вычисления не слишком длинны и выполнены тщательно. В неформализованном же тексте всегда существует опасность ошибочных умозаключений, к которым может привести, например, злоупотребление интуицией или рассуждение по аналогии. Наверно, именно поэтому некоторые исследования филологов, объясняющие, например, древние литературные тексты, вызывают внутренний протест у представителей естественных наук.
В действительности математик, желающий убедиться в полной правильности, или, как говорят, «строгости», доказательства или теории, отнюдь не прибегает к одной из тех полных формализации, которыми сейчас располагают, и даже большей частью не пользуется частичными и неполными формализациями, доставляемыми алгебраическим и другими подобными исчислениями. Обыкновенно он довольствуется тем, что приводит изложение к такому состоянию, когда его опыт и чутье математика говорят ему, что перевод на формализованный язык был бы теперь лишь упражнением в терпении. Если возникают сомнения, то, в конечном счете они относятся именно к возможности прийти без двусмысленности к такой формализации употреблялось ли одно и то же слово в разных смыслах в зависимости от контекста, нарушались ли правила синтаксиса бессознательным употреблением способов рассуждения, не разрешаемых явно этими правилами, была ли, наконец, совершена фактическая ошибка. Текст редактируется, все больше и больше приближаясь к формализованному тексту, пока, по мнению специалистов, дальнейшее продолжение этой работы не станет излишним.

2. Аксиоматика.

Аксиоматический метод есть не что иное, как искусство составлять тексты, формализация которых легко достижима. Он не является новым изобретением, но его систематическое употребление в качестве инструмента открытий составляет одну из оригинальных черт современной математики. И при записи, и при чтении формализованного текста совершенно несущественно, приписывается ли словам и знакам этого текста то или иное значение или даже не приписывается никакого, важно лишь точное соблюдение правил синтаксиса. Именно поэтому алгебраические вычисления столь универсальны в применении. Как знает каждый, они могут служить для решения задач о килограммах или о франках, о параболах или о равномерно ускоренных движениях. Таким же преимуществом и по тем же причинам обладает и всякий текст, составленный по аксиоматическому методу. Коль скоро теоремы Общей топологии установлены, их можно применять по желанию и к обычному пространству, и к гильбертову, равно как и ко многим другим пространствам. Эта возможность придавать разнообразное содержание, словам или первичным понятиям теории составляет вместе с тем важный источник обогащения интуиции математика, которая отнюдь не обязательно имеет пространственную или чувственную природу, как часто думают, а скорее представляет собой некоторое знание поведения математических объектов, часто прибегающее к помощи образов самой различной природы.
На таком пути нередко открывалась возможность плодотворного изучения в какой-либо теории свойств, которые в ней по традиции оставались без внимания, но которые систематически изучались в общей аксиоматической теории, охватывающей данную теорию как частную модель. Аксиоматический метод позволяет, когда дело касается сложных математических объектов, расчленить их свойства и перегруппировать эти свойства вокруг немногих понятий, то есть он позволяет классифицировать свойства по структурам, которым они принадлежат (одна и та же структура, разумеется, может фигурировать в связи с разными математическими объектами). Так, среди свойств сферы одни являются топологическими, другие алгебраическими, а третьи могут рассматриваться как относящиеся к дифференциальной геометрии или к теории групп Ли .
Подобно тому, как искусство правильно говорить на живом языке существовало еще до грамматики, так и аксиоматический метод применялся задолго до изобретения формализованных языков. Однако его сознательное применение может основываться только на знании общих принципов, управляющих этими языками, и их соотношений с обычными математическими текстами. Если прежде могли думать, что каждая отрасль математики зависит от специфических интуиции, дающих ей первичные понятия и истины, и потому для каждой отрасли необходим свой специфический формализованный язык, то сегодня мы знаем, что, логически говоря, возможно вывести почти всю современную математику из единого источника Теории множеств. Таким образом, по идее Н. Бурбаки (группа французских математиков), достаточно изложить принципы какого-то одного формализованного языка, рассказать, как сформулировать на этом языке Теорию множеств, а затем постепенно, по мере того как внимание будет направляться на различные отрасли математики, показывать, как они включаются в Теорию множеств. Поступая так, они вовсе не намеревались давать законы на вечные времена, заранее предполагая, что может случиться, что когда-нибудь математики согласятся использовать способы рассуждения, не поддающиеся формализации в современном языке. Тогда придется если и не полностью изменить этот язык, то, по крайней мере, расширить правила синтаксиса. Решение принадлежит будущему.

Введение 3
1. Формализация. 4
2. Аксиоматика. 6
3. Непротиворечивость и относительная непротиворечивость 10
4. Алгоритм и доказательство неразрешимости. 12
Заключение 16
Список литературы 18

Список литературы

1. Амелина А.Н. Прикладная математика. М.: Литера, 2004
2. Бурбаки Н. Теория множеств. М., 1965
3. Ершов Ю. Л., Палюти Е. А. Математическая логика. 2-е изд. М., 1987
4. Ершов Ю. Л. Определимость и вычислимость. 2-е изд. М.; Новосибирск, 2000
5. Мальцев А. И. Исследования в области математической логики/Избранные труды. Т. 11. М., 1976
6. Смирнова А.Н. Основные проблемы математической логики//Экспертиза, 2005, № 12