Прикладная математика .

4. Транспортная задача
Составить математическую модель транспортной задачи по исходным данным из приложения 2, где вектор объемов производства А(a1,..., am), вектор потребления В (b1,..., bn) и матрица транспортных издержек кратко записаны в виде:

Если полученная модель окажется открытой, то свести ее к замкнутой и найти оптимальное решение транспортной задачи методом потенциалов.

Приложение 2
Транспортная задач линейного программирования
№2.18.
34 40 38 53
80 2 7 2 3
60 1 5 4 2
30 3 4 6 1

Решение:
Определим оптимальный плана перевозок некоторого однородного груза из 3-х пунктов отправления А1 , А2 , А3 в 4 пункта назначения B1 , B2 , B3., B4 . В качестве критерия оптимальности возьмем минимальную стоимость перевозок всего груза. Пусть с тарифы перевозок единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения, через ai - запасы груза в пункте Аi через bj - потребности в грузе пункта Bj, xij - количество единиц груза, перевозимого из i-го пункта в j-й пункт. Составим математическую модель задачи. Так как от i-гo поставщика к j-му потребителю запланировано к перевозке xij единиц груза.


Поставщики Потребители Запасы
B1 B2 B3 B4
А1 2
X11 7
X12 2

X13 3
X14 80
А2 1
X21 5
X22 4

X23 2
X24 60
А3 3
X31 4
X32 6

X33 1
X34 30
Потребности 34 40 38 53 165\170
Соответственно математическая постановка задачи состоит в определении минимума целевой функции:

при условиях:

.
Транспортная задача является открытой, так как запас груза больше потребностей на 5 единиц. Приведем задачу к закрытому типу - введем фиктивного потребителя B5.


Поставщик Потребитель Запасы
груза
B1 B2 B3 B4 B5
A1 2
0
7
0
2
0
3
0
0
0
80
A2 1
0
5
0
4
0
2
0
0
0
60
A3 3
0
4
0
6
0
1
0
0
0
30
Потребность 34 40 38 53 5
Находим опорный план по правилу минимального элемента. Введем некоторые обозначения: Ai* - излишек нераспределенного груза от поставщика Ai ; Bj* - недостача в поставке груза потребителю Bj.
Временно исключаем из рассмотрения клетки фиктивного потребителя. Находим незанятую клетку с минимальным тарифом: (2,1). Помещаем туда меньшее из чисел A2*=60 и B1*=34. Находим незанятую клетку с минимальным тарифом: (3,4). Помещаем туда меньшее из чисел A3*=30 и B4*=53. Находим незанятую клетку с минимальным тарифом: (1,3). Помещаем туда меньшее из чисел A1*=80 и B3*=38. Находим незанятую клетку с минимальным тарифом: (2,4). Помещаем туда меньшее из чисел A2*=26 и B4*=23. Находим незанятую клетку с минимальным тарифом: (2,2). Помещаем туда меньшее из чисел A2*=3 и B2*=40. Находим незанятую клетку с минимальным тарифом: (1,2). Помещаем туда меньшее из чисел A1*=42 и B2*=37. Теперь распределим оставшися груз между поставщиками и фиктивным потребителем B5. Поместим в клетку (1,5) 5 единиц груза.

5. Задача распределения капитальных вложений
Методом динамического программирования решить задачу распределения капитальных вложений между четырьмя предприятиями производственного объединения, располагающего суммой в 700 тыс. руб., по исходным данным, приведенным в приложении 3 (выделяемые суммы кратны 100 тыс.).
Приложение 3. Нелинейная задача распределения ресурсов. Динамическое программирование
№ 3.18.

0 100 200 300 400 500 600 700

0 20 33 42 48 53 56 58

0 22 37 49 59 68 76 82

0 10 29 42 52 60 65 69

0 16 27 37 44 48 50 56

Решение:
Таблица 1

0 100 200 300 400 500 600 700

0 20 33 42 48 53 56 58

0 22 37 49 59 68 76 82

0 10 29 42 52 60 65 69

0 16 27 37 44 48 50 56

Сначала заполняем таблицу 2. Значения f2(x2) складываем со значениями F1( - x2) = f1(- x2) и на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой и указываем соответствующее значение .
Таблица 2

0 100 200 300 400 500 600 700

\
0 20 33 42 48 53 56 58
0 0 0* 20 33 42 48 53 56 58
100 22 22* 42* 55 64 70 75 78
200 37 37 57* 70* 79 85 90
300 49 49 69 82* 91 97
400 59 59 79 92* 101*
500 68 68 88 101*
600 76 76 96
700 82 82

Заполняем далее таблицу 3:
Таблица 3

0 100 200 300 400 500 600 700

0 22 42 57 70 82 92 101

0 100 100 200 200 300 400 400 или 500

Продолжая процесс, табулируем функции F3(), () и т.д. В табл. 6 заполняем только одну диагональ для значения = 700. Наибольшее число на этой диагонали:
Таблица 4

1. Линейная производственная задача
Сформулировать линейную производственную задачу и составить ее математическую модель, взяв исходные данные из приложения 1, где технологическая матрица А затрат различных ресурсов на единицу каждой продукции, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С при возможном выпуске четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов

компактно записаны в виде

Преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного программирования, решить ее методом направленного перебора базисных допустимых решений, обосновывая каждый шаг процесса, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и указать узкие места производства.
В последней симплексной таблице указать обращенный базис Q-1, соответствующий оптимальному набору базисных неизвестных. Проверить выполнение соотношения
H = Q-1B
Если по оптимальной производственной программе какие-то два вида продукции не должны выпускаться, то в таблице исходных данных вычеркнуть соответствующие два столбца, составить математическую модель задачи оптимизации производственной программы с двумя оставшимися переменными, сохранив прежнюю нумерацию переменных и решить графически.
Приложение 1. Линейная производственная задача
№1.18.
34 20 8 23
2 0 2 3 142
1 5 4 2 100
3 4 0 1 122

2. Двойственная задача
Сформулировать задачу, двойственную линейной производственной задаче, как задачу определения расчетных оценок ресурсов, и найти ее решение, пользуясь второй основной теоремой двойственности (о дополняющей нежесткости). Указать оценку единицы каждого ресурса, минимальную суммарную оценку всех ресурсов, оценки технологий.

3. Задача «о расшивке узких мест производства»
Сформулировать задачу о "расшивке узких мест производства" и составить математическую модель. Определить область устойчивости двойственных оценок, где сохраняется структура программы производства. Решить задачу о расшивке узких мест производства при условии, что дополнительно можно получить от поставщиков не более одной трети первоначально выделенного объема ресурса любого вида (если задача окажется с двумя переменными, то только графически); найти план приобретения дополнительных объемов ресурсов, дополнительную возможную прибыль.

4. Транспортная задача
Составить математическую модель транспортной задачи по исходным данным из приложения 2, где вектор объемов производства А(a1,..., am), вектор потребления В (b1,..., bn) и матрица транспортных издержек кратко записаны в виде:

Если полученная модель окажется открытой, то свести ее к замкнутой и найти оптимальное решение транспортной задачи методом потенциалов.

Приложение 2
Транспортная задача линейного программирования
№2.18.
34 40 38 53
80 2 7 2 3
60 1 5 4 2
30 3 4 6 1

5. Задача распределения капитальных вложений
Методом динамического программирования решить задачу распределения капитальных вложений между четырьмя предприятиями производственного объединения, располагающего суммой в 700 тыс. руб., по исходным данным, приведенным в приложении 3 (выделяемые суммы кратны 100 тыс.).
Приложение 3. Нелинейная задача распределения ресурсов. Динамическое программирование
№ 3.18.

0 100 200 300 400 500 600 700

0 20 33 42 48 53 56 58

0 22 37 49 59 68 76 82

0 10 29 42 52 60 65 69

0 16 27 37 44 48 50 56

16. Анализ доходности и риска финансовых операций
Провести анализ доходности и риска финансовых операций по исходным данным, приведенным в приложении 7.
Даны четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4. Найдите средние ожидаемые доходы и риски ri операций. Нанесите точки ( , ri) на плоскость, найдите операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы найдите среди таких операций лучшую.
Взвешивающая формула: .
Приложение 7. Анализ доходности и риска финансовых операций
1.18. (-6,1/2)(-4,1/4)(-2,1/8)(10,1/8)
(0,1/4)(8,1/4)(12,1/3)(24,1/6)
(-6,1/4)(-2,1/4)(0,1/3)(6,1/6)
(0,1/3)(2,1/3)(4,1/6)(16,1/6)

нет