Прикладная математика.

4. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. РАСПРЕДЕ-ЛЕНИЕ КАПИТАЛЬНЫХ ВЛОЖЕНИЙ

0 100 200 300 400 500 600 700
f1(x1) 0 16 26 39 42 46 50 54
f2(x2) 0 9 15 23 31 39 45 49
f3(x3) 0 18 26 34 39 42 44 46
f4(x4) 0 15 25 32 38 42 46 48

Заполняем следующую таблицу. Значения f2(x2) складываем со значе-ниями F1(m-x2) = f2(m-x2) и на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем и указываем соответствующее значение z2.
m-x2 0 100 200 300 400 500 600 700
x2 f2(x2)/ F1(m-x2) 0 16 26 39 42 46 50 54
0 0 0 16 26 39 42 46 50 54
100 9 9 25 35 48 51 55 59
200 15 15 31 41 54 57 61
300 23 23 39 49 62 65
400 31 31 47 57 70
500 39 39 55 65
600 45 45 61
700 49 49

Красным цветом обозначен максимальный суммарный эффект от выде-ления соответствующего размера инвестиций 2-м предприятиям.

m 0 100 200 300 400 500 600 700
F2(m) 0 16 26 39 48 54 62 70
z2(m) 0 0 0 0 100 200 300 400


Продолжая процесс, табулируем функции F3(m) и z3(m)

m-x3 0 100 200 300 400 500 600 700
x3 f3(x3)/ F2(m-x3) 0 16 26 39 48 54 62 70
0 0 0 16 26 39 48 54 62 70
100 18 18 34 44 57 66 72 80
200 26 26 42 52 65 74 80
300 34 34 50 60 73 82
400 39 39 55 65 78
500 42 42 58 68
600 44 44 60
700 46 46

m 0 100 200 300 400 500 600 700
F3(m) 0 18 34 44 57 66 74 82
z3(m) 0 100 100 100 100 100 200 300

Продолжая процесс, табулируем функции F4(m) и z4(m)

m-x3 0 100 200 300 400 500 600 700
x3 f3(x3)/ F2(m-x3) 0 18 34 44 57 66 74 82
0 0 0 18 34 44 57 66 74 82
100 15 15 33 49 59 72 81 89
200 25 25 43 59 69 82 91
300 32 32 50 66 76 89
400 38 38 56 72 82
500 42 42 60 76
600 46 46 64
700 48 48

m 0 100 200 300 400 500 600 700
F4(m) 0 18 34 49 59 72 82 91
z4(m) 0 0 0 100 100 100 200 200

m 0 100 200 300 400 500 600 700
F1(m)=f1(x1) 0 16 26 39 48 54 62 70
z1=x1 0 100 200 300 400 500 600 700

F2(m) 0 16 26 39 48 54 62 70
z2(m) 0 0 0 0 100 200 300 400

F3(m) 0 18 34 44 57 66 74 82
z3(m) 0 100 100 100 100 100 200 300

F4(m) 0 18 34 49 59 72 82 91
z4(m) 0 0 0 100 100 100 200 200

Наилучшим является следующее распределение капитальных вложе-ний: . Оно обеспечивает производственному объединению наибольший прирост прибыли 91 тыс. руб.
Проверка:

5. АНАЛИЗ ДОХОДНОСТИ И РИСКА ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ
Рассмотрим четыре операции Q1, Q2, Q3, Q,4. Найдем средние ожидае-мые доходы Qi и риски ri операций.
Ряды распределения, средние ожидаемые доходы и риски:
Q1 : 2 12 18 22 Q1 = 10,25 r1  8,74
1/2 1/8 1/8 1/4

Q2 : 0 2 4 16 Q2 = 3 r2  4,3
1/2 1/4 1/8 1/8

Q3 : 0 4 6 12 Q3 = 5 r3  3,87
1/4 1/4 1/3 1/6

Q4 : 0 1 2 8 Q4 = 2 r4  2,77
1/3 1/3 1/6 1/6

Нанесем средние ожидаемые доходы Q и риски r на плоскость - доход откладываем по горизонтали, а риски по вертикали (см. рис.):

Получили 4 точки. Чем правее точка (Q, r), тем более доходная опера-ция, чем точка выше - тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (Q, r) доминирует точку (Q, r) если Q Q и r  r. В нашем случае 3-я операция доминирует 2-ю, остальные операции несрав-нимы.
Точка, не доминируемая никакой другой называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимально-сти по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо вы-бирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето.
Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар (Q, r) дает одно число, по кото-рому и определяют лучшую операцию. Взвешивающая формула есть . Тогда получаем:

Следовательно, 1-я операция лучшая, а 4-я худшая.

Содержание
1. ЛИНЕЙНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЗАДАЧА 2
2. ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА 5
3. ТРАСПОРТНАЯ ЗАДАЧА 7


1. ЛИНЕЙНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЗАДАЧА
На предприятии выпускается четыре вида продукции, при этом затраты ресурсов для изготовления каждого вида определяются матрицей :

Количество ресурсов ограничено и выражено матрицей :

Прибыль, получаемая при выпуске каждого вида продукции, содержит-ся в матрице :

Необходимо определить оптимальный выпуск продукции каждого ви-да, при котором прибыль будет максимальной.

Составим математическую модель задачи.
Пусть количества каждого вида продукции равны: соответ-ственно, тогда функция цели запишется в виде:

Система ограничений по ресурсам:


Приведем систему ограничений к каноническому виду:

Решим задачу симплекс-методом.
Базис БП x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x5 192 4 3 0 6 1 0 0
x6 24 0 1 5 0 0 1 0
x7 90 1 2 4 3 0 0 1
ИС 0 -16 -18 -14 -12 0 0 0



Базис БП x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x5 120 4 0 -15 6 1 -3 0
x2 24 0 1 5 0 0 1 0
x7 42 1 0 -6 3 0 -2 1
ИС 432 -16 0 76 -12 0 18 0



Базис БП x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x1 30 1 0 -15/4 3/2 1/4 -3/4 0
x2 24 0 1 5 0 0 1 0
x7 12 0 0 -9/4 3/2 -1/4 -5/4 1
ИС 912 0 0 16 12 4 6 0

Т.к. в последней строке все элементы , то найдено оптимальное ре-шение.

Таким образом, максимальная прибыль достигается при выпуске перво-го и второго видов продукции в количестве 30 и 24 ед. соответственно и рав-на 912 ден. ед.

Составим математическую модель без учета третьего и четвертого вида продукции.

Система ограничений по ресурсам:


Решим задачу графически, для этого построим область допустимых решений, она будет ограничена прямыми:

Поиск максимума целевой функции будем вести по направлению век-тора:





2. ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА
Составим двойственную задачу.


Решение двойственной задачи возьмем из последней строки последней таблицы решения исходной задачи:


Добавление одной единицы первого ресурса принесет дополнительно 4 единицы прибыли.
Добавление одной единицы второго ресурса принесет дополнительно 6 единиц прибыли.
При выполнении оптимальной производственной программы первый и второй ресурсы используются полностью, т.е. образуют узкие места прои-водства. Будем их заказывать дополнительно.

Решим задачу симплекс-методом.

нет списка лит-ры