Прикладная математика КР.

Задача1
Решение:
, ,
Сформулируем линейную производственную задачу. Пусть предприятие выпускает 4 вида продукции, используя три вида ресурсов. Нормы расхода ресурсов на единицу изделия заданны технологической матрицей A , , где - номер вида ресурса, а - номер вида продукии. Запасы ресурсов заданы вектором В. Требуется определить производственную программу максимизирующую прибыль, если вектор удельной прибыли - С.
Составим ее математическую модель:



Преобразуем полученную задачу к виду основной задачи линейного программирования и решим ее методом направленного перебора базисных допустимых решений, т.е. симплекс-методом:
введем новые переменные в ограничения:

и составим симплекс таблицу:

Задача 2
Решение
Пусть некое предприятие П., занимающееся производством каких-то других видов продукции, но с использованием трех таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам "уступить" по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает платить усл.ден.ед. за каждую единицу первого ресурса, усл.ден.ед. второго, усл.ден.ед. третьего. Определим при каких ценах мы можем согласиться с этим предложением, чтобы выручка от продажи ресурсов скомпенсировала потерю прибыли, вызванную продажей ресурсов.
Величины называются расчетными, или двойственными, оценками ресурсов. Они прямо зависят от условий, в которых действует наше предприятие.
Для производства единицы продукции первого вида мы должны затратить, как видно из матрицы А, 4 единицы ресурса первого вида, 7 единиц ресурса второго вида и 2 единицы третьего (элементы первого столбца матрицы). В ценах наши затраты составят , т.е. столько заплатит предприятие П за все ресурсы, идущие на производство единицы первой продукции. На рынке за единицу первой продукции мы получили бы прибыль 44 усл.ден.ед.. Следовательно, мы можем согласиться с предложением П только в том случае, если оно заплатит не меньше:

Задачи 1, 2, 3, 5, 16, 15

1. Линейная производственная задача
Сформулировать линейную производственную задачу и составить ее математическую модель, взяв исходные данные из приложения 1, где технологическая матрица А затрат различных ресурсов на единицу каждой продукции, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С при возможном выпуске четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов

компактно записаны в виде

Преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного программирования, решить ее методом направленного перебора базисных допустимых решений, обосновывая каждый шаг процесса, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и указать узкие места производства.
В последней симплексной таблице указать обращенный базис Q-1, соответствующий оптимальному набору базисных неизвестных. Проверить выполнение соотношения
H = Q-1B
Если по оптимальной производственной программе какие-то два вида продукции не должны выпускаться, то в таблице исходных данных вычеркнуть соответствующие два столбца, составить математическую модель задачи оптимизации производственной программы с двумя оставшимися переменными, сохранив прежнюю нумерацию переменных и решить графически.
Приложение 1. Линейная производственная задача
№1.23.
44 28 78 23
4 1 6 3 288
7 3 1 2 240
2 4 5 1 200

2. Двойственная задача
Сформулировать задачу, двойственную линейной производственной задаче, как задачу определения расчетных оценок ресурсов, и найти ее решение, пользуясь второй основной теоремой двойственности (о дополняющей нежесткости). Указать оценку единицы каждого ресурса, минимальную суммарную оценку всех ресурсов, оценки технологий.

3. Задача «о расшивке узких мест производства»
Сформулировать задачу о "расшивке узких мест производства" и составить математическую модель. Определить область устойчивости двойственных оценок, где сохраняется структура программы производства. Решить задачу о расшивке узких мест производства при условии, что дополнительно можно получить от поставщиков не более одной трети первоначально выделенного объема ресурса любого вида (если задача окажется с двумя переменными, то только графически); найти план приобретения дополнительных объемов ресурсов, дополнительную возможную прибыль.

5. Задача распределения капитальных вложений
Методом динамического программирования решить задачу распределения капитальных вложений между четырьмя предприятиями производственного объединения, располагающего суммой в 700 тыс. руб., по исходным данным, приведенным в приложении 3 (выделяемые суммы кратны 100 тыс.).
Приложение 3. Нелинейная задача распределения ресурсов. Динамическое программирование
№ 3.23.

0 100 200 300 400 500 600 700

0 37 64 87 105 120 134 145

0 70 93 104 110 114 117 119

0 61 80 93 100 106 112 116

0 28 45 65 78 90 102 113

16. Анализ доходности и риска финансовых операций
Провести анализ доходности и риска финансовых операций по исходным данным, приведенным в приложении 7.
Даны четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4. Найдите средние ожидаемые доходы и риски ri операций. Нанесите точки ( , ri) на плоскость, найдите операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы найдите среди таких операций лучшую.
Взвешивающая формула: .
Приложение 7. Анализ доходности и риска финансовых операций
1.23. (0,1/5)(8,1/5)(12,1/5))(20,2/5)
(0,1/5)(2,1/5)(10,1/5)(28,1/5)
(0,1/2)(16,1/8)(32,1/8)(40,1/4)
(0,1/4)(8,1/4)(20,1/4)(28,1,/4)

15. Матричная модель производственной программы предприятия
Составить матричную модель производственной программы предприятия по исходным данным из приложения 6. По данному вектору выпуска товарной продукции найти вектор производственной программы и полные затраты всех внешних ресурсов.
Приложение 6. Матричная модель производственной программы предприятия
№ 6.23
0,1
0,2
0
5
3
25
0,3 0
0
0,1
6
4
40
0,4 0,2
0,1
0,3
8
0
30
0 60
70
50


№ 6.12
0
0,3
0,2
6
4
25
0 0,1
0,1
0
7
5
15
0,2 0,2
0
0,2
0
2
20
0,3 70
50
60

нет