Статистическая проверка гипотез.

ВВЕДЕНИЕ.
Гипотеза одна из важных факторов движения науки к достижению прогресса. Возникает как результат наблюдения за явлениями (фактами), гипотеза принимает форму теоретического предположения. Обращение к фактам допускает возможность проверки этого предположения. При этом факты, которыми проверяется гипотеза, должны быть научно обоснованными, т.е. представляют собой результат наблюдения, что базируется на научных принципах.
Задача проверки статистических гипотез возникает в разных сферах человеческой деятельности, а особенно в экономике. При сравнении и оценке разных явлений в последствии возникшего элемента вероятности это решается с помощью математической статистики. Как правило, в распоряжении исследователей есть выборочные данные. За статистическим анализом выборки делают полный вывод о объекте исследования путем вычисления статистический оценок (точечных, интервальных). Но если при оценивании находят найлучшую статисическую оценку параметра или характера распределения выходной совокупности, то задание проверки статистических гипотез лежит в том что принимает ли оценку в роли значения исследуемая функция распределения или параметр.
В данной работе рассмотрим основные понятия статистической гипотезы и ее статистическую проверку












ГЛАВА 1.
ЗАДАЧИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ.

Одна из часто встречающихся на практике задач, связанных с применением статистических методов, состоит в решении вопроса о том, должно ли на основании данной выборки быть принято или, напротив, отвергнуто некоторое предположение (гипотеза) относительно генеральной совокупности (случайной величины)
Процедура сопоставления высказанного предположения (гипотезы) с выборочными данными называется проверкой гипотезы.
Задачами статистической проверки гипотез ставятся в следующем виде: относительно некоторой генеральной совокупности высказывается та или иная гипотеза . Из этой генеральной совокупности извлекается выборка. Требуется указать правило, при помощи которого можно было бы по выборке решить вопрос о том, следует ли отклонить гипотезу или принять ее.
Следует отметить, что статистическими методами гипотезу можно только отвергнуть или не отвергнуть, но не доказать.
Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки.

ГЛАВА 2.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА. СТАТИСТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ.
2.1. Основные понятия статистической гипотезы и статистического критерия.
Под статистической гипотезой (или просто гипотезой) понимают всякое высказывание (предположение) о генеральной совокупности, проверяемой по выборке.
Статистические гипотезы делятся на:
1. гипотезы о параметрах распределения известного вида (это так называемые параметрические гипотезы)
2. гипотезы о виде неизвестного распределения (непараметрические гипотезы)
одну из гипотез выделяют в качестве основной (или нулевой) и обозначают , а другую, являющуюся логическим отрицанием , т.е. противоположную - в качестве конкурирующей (или альтернативной) гипотезы и обозначают .
Гипотезу, однозначно фиксирующую распределения наблюдений, называют простой ( в ней идет речь об одном значении параметра), в противном случае сложной.
Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу (соответственно, отклонить или принять ), называется статистическим критерием (или просто критерием) проверки гипотезы .
Проверку гипотез осуществляют на основании результатов выборки , из которых формируют функцию выборки , называемой статистикой критерия.
Основной принцип проверки гипотез состоит в следующем. Множество возможных значений статистики критерия разбивается на два непересекающихся подмножества: критическую область , т.е. область отклонения гипотезы и область принятия этой гипотезы. Если фактически наблюдаемое значение статистики критерия (т.е. значение критерия, вычисленное по выборке: ) попадает в критическую область , то основная гипотеза отклоняется и принимается альтернативная гипотеза ; если же попадает в , то принимается , а отклоняется.
При проверке гипотезы может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов:
1. Ошибка I-го рода состоит в том, что отвергается нулевая гипотеза , когда на самом деле она верна.
2. Ошибка ІІ-го рода состоит в том, что отвергается альтернативная гипотеза , когда она на самом деле верна.

Рассматриваемые случаи наглядно иллюстрирует следующая таблица.
Гипотеза
Отвергается Принимается
верна ошибка 1-го рода правильное решение
неверна правильное решение ошибка 2-го рода
Вероятность ошибки 1-го рода (обозначается через ) называется уровнем значимости критерия.
Очевидно, . Чем меньше , тем меньше вероятность отклонить верную гипотезу. Допустимую ошибку 1-го рода обычно задают заранее.
В одних случаях считается возможным пренебречь событиями, вероятность которых меньше ( означает, что в среднем в 5 случаях из 100 испытаний верная гипотеза будет отвергнута), в других случаях, когда речь идет, например, о разрушении сооружений, гибели судна и т.п., нельзя пренебречь обстоятельствами, которые могут появится с вероятностью, равной 0.001.
Обычно для используются стандартные значения:

Вероятность ошибки 2-го рода обозначается через , т.е. .
Величину , т.е. вероятность недопущения ошибки 2-го рода (отвергнуть невеную гипотезу , принятую верную ), называется мощностью критерия.
Очевидно, .
Чем больше мощность критерия, тем вероятность ошибки 2-го рода меньше, что, конечно, желательно (как и уменьшение )
Последствия ошибок 1-го, 2-го рода могут быть совершенно различными: в одних случаях надо минимизировать , в другом - . Так, применительно к радиолокации говорят, что - вероятность пропуска сигнала, - вероятность ложной тревоги; применительно к производству, к торговле можно сказать, что - риск поставщика (т.е. забраковка по выборке всей партии изделий, удовлетворяющих стандарту), - риск потребителя (т.е. прием по выборке всей партии изделий, не удовлетворяющей стандарту); применительно к судебной системе, ошибка 1-го рода приводит к оправданию виновного, ошибка 2-го рода осуждению невиновного.
Отметим, что одновременное уменьшение ошибок 1-го и 2-го рода возможно лишь при увеличении объема выборок. Поэтому обычно при заданном уровне значимости отыскивается критерий с наибольшей мощностью.

2.2. Методика проверки гипотезы.

Методика проверки гипотез сводится к следующему:
1. Располагая выборкой , формируют нулевую гипотезу и альтернативную
2. В каждом конкретном случае подбирают статистику критерия , обычно из перечисленных ниже:
нормальное распределение
распределение хи-квадрата (Пирсона)
распределение Стьюдента
распределение Фишера - Снедекора
3. По статистике критерия и уровню значимости определяют критическую область (и ). Для ее отыскания достаточно найти критическую точку , т.е. границу (или квантиль), отделяющую область от .
Границы областей определяются, соответственно, из соотношений:
, для правосторонней критической области ;
, для левосторонней критической области ; , для двусторонней критической области .
Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую приведенным выше соотношениям.
4. Для полученной реализации выборки подсчитывают значение критерия, т.е.
5. Если ( например, для правосторонней области ), то нулевую гипотезу отвергают; если же ( ), то нет оснований, чтобы отвергнуть гипотезу .
ГЛАВА 3.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
3.1. Проверка гиптез о равенстве математических ожиданий нормальных генеральных совокупностей.
Пусть две нормально распределены генеральные совокупности имеют равные дисперсии, а математическое ожидание могут быть разными.
Из совокупности сделали выборку объема та и нашли выборочные средние и , также исправленные дисперсии та , соответственно.
Необходимо проверить гипотезу : разница математических ожиданий этих совокупностей равняется числу

Альтернативной гипотезой будет:

Для проверки гипотезы в качестве статистической характеристики (выборочной функции) возьмем функцию:

она распределена за законом Стьюдента с степенями свободы
для заданного уровня значимости можно найти критическую область для статистической характеристики с учетом альтернативной гипотезы

Введение
Глава 1. Задачи статистической проверки гипотез
Глава 2. Статистическая гипотеза. Статистический критерий.
2.1. Основные понятия статистической гипотезы и статистического критерия.
2.2. Методика проверки гипотезы
Глава 3. Критерии Проверки статистических гипотез
3.1. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий нормальных генеральных совокупностей.
3.2. Проверка гипотез о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.
3.3. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема
3.4. Критерий дисперсионного анализа
3.5. Проверка гипотез о законе распределения
3.5.1. Критерий Пирсона

3.5.2. Критерий Колмогорова
Заключение
Список литературы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Общая теория статистики : статистическая методология в изечении коммерческой деятельности. Учебник под ред. А.А.Спирина, O.Э.Башиной, - M.; Финансы и статистика, 1995. - 296 c.
2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятности, математической статистике и случайным процессам. М.: Айрис-пресс,2006. 288с.
3. Гмурман В.Е. Терия вероятности и математическая статистика М.:Высшая школа, 1980