Теория вероятности и математическая статистика Вариант5.

Литература
1. Математический анализ и линейная алгебра./ Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. Учебно-методическое пособие для студентов I курса всех специальностей и слушателей факультета непрерывного обучения: М.: Вузовский учебник, 2005, с. 79.
2. Высшая математика в упражнениях и задачах./ Под ред. П.Е. Данко, А.Г. Попов и др. Часть2, М.: Оникс 21 век, 2003

1. Из ящика, содержащего три билета с номерами 1, 2, 3, вынимают по одному все билеты. Предполагается, что все последовательности номеров имеют одинаковые вероятности. Найти вероятность того, что хотя бы у одного билета порядковый номер совпадет с собственным.
2. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Было произведено 600 выстрелов. Найти:
а) границы, в которых с вероятностью 0,9949 будет заключено число попаданий в цель;
б) число выстрелов, которые надо произвести по мишени, чтобы с вероятностью 0,9949 можно было ожидать, что отклонение частости попадания при одном выстреле от его вероятности будет меньше 0,05 (по абсолютной величине).
3. В контрольной работе 5 задач. Для каждой задачи вероятность того, что слабо подготовленный студент решит ее верно, равна 0,3. Составить закон распределения числа верно решенных задач для слабо подготовленного студента. Найти вероятность получения им зачета, если зачет выставляется за работу, в которой решено не менее трех задач.
4. Функция распределения случайной величины Х имеет вид:

Найти:
а) плотность вероятности
б) математическое ожидание ; в) вероятность .
Построить графики функции и .
5. Средняя температура воздуха в июле в данной местности 20ºС. Оценить вероятность того, что в июле следующего года средняя температура воздуха будет: а) не более 15ºС; б) более 20ºС.

Контрольная работа №4

1. В результате выборочного обследования 100 предприятий из 1000 по схеме собственно-случайной бесповторной выборки, получено следующее распределение предприятий по росту производительности труда (в процентах по отношению к предыдущему году):

Рост производительности труда, % 1317 1721 2125 2529 2933 3337 Итого:
Число предприятий 6 20 24 29 11 10 100

Найти: а) границы, в которых с вероятностью 0,899 будет находиться средний процент роста производительности труда на всех предприятиях; б) вероятность того, что доля всех предприятий с ростом производительности труда не менее 25% отличается от доли таких предприятий в выборке не более, чем на 5% (по абсолютной величине); в) объем выборки, при котором те же границы для среднего процента роста произодительности труда, полученные в пункте а), можно гарантировать с вероятностью 0,9907.
2. По данным задачи 1, используя -критерий Пирсона, на уровне значимости a = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X рост производительности труда распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
3. Распределение 80 предприятий, выпускающих однотипную продукцию, по количеству реализованных товаров X (тыс. ед.) и цене на производимые товары Y (тыс. руб. за ед. продукции) представлено в таблице:

y
x 1020 2030 3040 4050 5060 Итого:
6070 3 3 6
7080 1 5 4 10
8090 2 7 7 1 17
9000 6 10 4 20
100110 2 7 8 2 19
110120 4 4 8
Итого: 6 19 26 21 8 80
Необходимо:
1) Вычислить групповые средние , построить эмпирические линии регрессии;
2) Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости  = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить количество реализованных товаров предприятий, у которых цена на производимые товары равна 55 тыс.руб. за единицу продукции.