Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости v по закону а = α*((v)^0,5) , где α - положительная по.

Задача №10. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от угла поворота φ по закону ω = ω0 - аφ, где ω0 и а - положительные постоянные. В момент времени t = 0 угол φ = 0. Найти зависимость от времени: а) угла поворота; б) угловой скорости.
Решение
По определению угловой скорости вращения и, поэтому, зависимость угла поворота тела определится из
дифференциального уравнения которое, с целью разделения переменных интегрирования, перепишем в виде. Взяв неопределенный интеграл от левой и правой частей этого
уравнения, получаем или где С - константа интегрирования. Так как при t = 0 угол, то и, следовательно, искомая зависимость угла поворота тела от времени t имеет вид а зависимость угловой скорости от времени t определяется дифференцированием последнего выражения.

Задача №1. Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости v по закону а = α*((v)^0,5) , где α - положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна v0. Какой путь она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?

Задача №2. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно вертикально вверх, другое под углом θ=60° к горизонту. Начальная скорость каждого тела v0 = 25 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти расстояние между телами через t0 = 1,7 с.

Задача №3. Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону r = bt(1 - αt), где b - постоянный вектор, α - положительная постоянная. Найти: а) скорость v и ускорение а частицы в зависимости от времени; б) промежуток времени Δt, по истечении которого частица вернется в исходную точку, а также путь, который она пройдет при этом.

Задача №4. Под каким углом к горизонту надо бросить шарик, чтобы: а) центр кривизны вершины траектории находился на земной поверхности; б) радиус кривизны начала его траектории был в η=8,0 раз больше, чем в вершине?

Задача №5. Воздушный шар начинает подниматься с поверхности земли. Скорость его подъема постоянна и равна v0. Благодаря ветру, шар приобретает горизонтальную компоненту скорости vx = α*y , где α - постоянная, у - высота подъема. Найти зависимость от высоты подъема: а) величины сноса шара х(у); б) полного, тангенциального и нормального ускорений шара.

Задача №6. Точка движется по окружности со скоростью v=αt, где α=0,5 м/с2. Найти ее полное ускорение в момент, когда она пройдет n = 0,1 длины окружности после начала движения.

Задача №7. Частица А движется в одну сторону по траектории (см. рис.) с тангенциальным ускорением аτ = ατ, где α - постоянный вектор, совпадающий по направлению с осью x, а τ - единичный вектор, связанный с частицей А и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты. Найти скорость частицы в зависимости от х, если в точке х = 0 ее скорость равна нулю.

Задача №8. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол φ его поворота зависит от времени как φ = βt2, где β =0,20 рад/с2. Найти полное ускорение а точки А на ободе колеса в момент t = 2,5 с, если скорость точки А в этот момент v = 0,65 м/с.

Задача №9. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением β = αt, где α =2,0*10-2 рад/с3. Через сколько времени после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол φ = 60° с ее вектором скорости?

Задача №10. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от угла поворота φ по закону ω = ω0 - аφ, где ω0 и а - положительные постоянные. В момент времени t = 0 угол φ = 0. Найти зависимость от времени: а) угла поворота; б) угловой скорости.

Иродов