Уравнение упругого равновесия.

Введение. С теоретической точки зрения основная задача теории упругости состоит в нахождении решения уравнений равновесия изотропного тела заданной формы при заданных на границе смещениях или напряжениях. Случай, когда на тело действуют массовые силы, приводится, как показал Ляв, к случаю тела деформированного только поверхностными силами на граничной поверхности. Таким образом, задача заключается в определении таких функций смещения u, v, w, которые внутри заданной границы непрерывны вместе со своими производными и удовлетворяют дифференциальным уравнениям в частных производных Ламе. Кроме того, на границе эти функции должны удовлетворять заданным условиям. Если на границе задано смещение, тем самым известны значения функций u, v, w, если же на границе задано напряжение, то следовательно известны соотношения Коши. Доказано существование и единственность решения при определении напряжений и деформаций, а смещения находятся только с точностью до перемещений тела как абсолютно твердого. Попытки получить решение указанной системы уравнений в общем виде при произвольных граничных условиях не увенчались успехом. Однако, большое количество частных задач имеет законченное аналитическое решение. При этом используются систематические методы теории потенциала, рядов, теории гармонических и аналитических функций, дифференциальных уравнений и др. С другой стороны, методы, которые были изобретены для интегрирования уравнений равновесия изотропного упругого тела, имеют большое значение для чистой математики. Для упругого тела, находящегося в равновесии под действием сил, приложенных только к его поверхности, весьма плодотворно оказалось введение функций напряжений, которые применил впервые, по-видимому, Максвелл, затем Эри, Галеркин и др. Для нахождения решения уравнений равновесия в смещениях (Ламе) Кельвин получил смещения при помощи суммы скалярного и векторного потенциалов, получив для их определения уравнения типа Пуассона. Позже эту идею плодотворно развил Папкович, Нейбер, Куливе. В частности, используя решение Папковича-Нейбера, просто получить элементарные решения первого и второго рода Буссинеска и другие решения, о чем будет сказано в настоящей работе.

Оглавление Введение…………………………….…………………..3 Глава 1. Уравнения упругого равновесия…………..4 §1. Уравнение равновесия……………………………4 §2. Основные уравнения статики упругого изотропного тела ……………………………………..6 §3. Основные граничные задачи статики упругого тела…………………………………………………….7 §4. Основные уравнения в компонентах смещения…8 §5. Некоторые свойства уравнений упругого равновесия при отсутствии массовых сил …………9 Глава 11. Основные методы решений уравнений равновесия упругого однородного изотропного тела……………………………………………………12 §1. Формы решений Максвелла и Морера…………12 §2. Метод Буссинеска-Галеркина……………………13 §3. Метод Ламе……………………………………….14 §4. Метод Б.Г.Галеркина для решения уравнений упругого равновесия однородного изотропного тела в напряжениях………………………………………….16 Глава 111. Решение уравнений теории упругости изотропного упругого тела методом П.Ф.Папковича-Нейбера………………………………………………18 §1. Метод П.Ф.Папковича-Нейбера………………..18 1. Постановка задачи…………………………….18 2. Векторная форма уравнений равновесия……18 3. Решение Папковича-Нейбера…………………19 4. Простые решения…………………………21 §2. Решение уравнений Папковича-Нейбера в форме В.Д.Кулиева……………………………………….24 §3. Применение решения Папковича-Нейбера в плоской задаче теории упругости……………….27 1. Плоская деформация……………………….27 2. Плоская задача теории упругости в полярных координатах при отсутствии объемных сил……..28 3. Полярно-симметричные задачи……………32 4. Примеры решения полярно-симметричных задач…………………………………………………34 Заключение………………………………………….38 Литература…………………………………………..39

Литература. 1. Л.С. Лейбензон. Курс теории упругости. – Л.: ОГИЗ, 1947. 2. Е.В. Макаров. Основы математической теории упругости. – М.: МГОУ, 2005. 3. В.Д. Кулиев. Сингулярные краевые задачи. – М.: ФИЗМАТЛИ, 2005. 4. А. Ляв. математическая теория упругости. – М., ОНТИ, 1935. 5. Г.И.Кручкович, Б.С. Римский-Корсаков, Р.Л.Сенкевич. Курс высшей математики. Часть V. – ВЗЭИ, 1965.