Высшая математика.

397.
Даны вектор и плоскость . Плоскость вместе с координатными плоскостями образует пирамиду. Требуется:
1. Найти поток вектора через плоскость треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями.
2. Найти поток вектора через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали с помощью формулы Остроградского-Гаусса. Сделать чертеж.
3. Найти циркуляцию вектора вдоль линии пересечения плоскости с координатными плоскостями.
Решение:
1. Для решения этой задачи будем использовать формулу: поток векторного поля через поверхность S в сторону внешней нормали

, следовательно, ,
поверхность есть треугольник, вырезанный из плоскости координатными плоскостями, образованный точками (0;0;2), (2;0;0), (0;1;0), имеем , тогда для данного векторного поля получаем:




.
2. Найдем поток вектора через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали с помощью формулы Остроградского-Гаусса:
, найдем дивергенцию вектора : ,
, , , тогда , следовательно,

.
Сделаем чертеж:

407.
Проверить будет ли векторное поле потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал.
Решение:
Вычислим ротор векторного поля: , для этого находим частные производные:
, , , , , , следовательно, получим:
, данное поле безвихревое, а значит потенциальное. Найдем его потенциал:



,
где .
Векторное поле называется соленоидальным, если , проверим это:
, т.е. находим:
, , , тогда , следовательно, данное поле несоленоидальное.

397.
F=(yz+3x)i+(z^2 x+y)j+y^2k
(p) x+2y+z=2
Даны вектор и плоскость . Плоскость вместе с координатными плоскостями образует пирамиду. Требуется:
1. Найти поток вектора через плоскость треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями.
2. Найти поток вектора через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали с помощью формулы Остроградского-Гаусса. Сделать чертеж.
3. Найти циркуляцию вектора вдоль линии пересечения плоскости с координатными плоскостями.
407.
F=(5x+4yz)i+(5y+4xz)j+(5z+4xy)k
Проверить будет ли векторное поле потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал.
417.
w=2z^2-iz, z0=1-i
1. Представить заданную функцию w=f(z),где z=x+iy, в виде w=u(x,y)+iv(x,y).
2. Проверить, является ли она аналитической в точке z0.
3. Если функция w аналитическая в точке z0, то найти ее производную в этой точке.
427.
Используя вычеты, вычислить интеграл по замкнутому контуру L.
437.
y''+9y=cos3t, y(0)=1, y'(0)=0.
Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, с помощью преобразования Лапласа (операционным методом).
447.
Найти преобразование Фурье непосредственно и по связи с преобразованием Лапласа.
457. Студент знает k=30 вопросов из n=45 вопросов программы. Экзаменатор задает три произвольных вопроса из имеющихся. Найти вероятность того, что студент знает ответы а) на все три вопроса; б) только на два вопроса; в) только на один вопрос; г) не знает ответа ни на один из заданных вопросов.
467. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна р1=0,5 вторым - р2=0,7 третьим р3=0,8. Найти вероятность того, что: а) только два стрелка попали в цель; б) все три стрелка попали в цель
477. Куплено n=15 лотерейных билетов. Вероятность выигрыша на один лотерейный билет р=0,3. Найти а) вероятность того, что из n билетов k=3 билетов выиграют; б) наивероятнейшее число выигрышных билетов.
487. Дискретная случайная величина может принимать только два значения: х1 и х2 причем х1 < х2. Известны вероятность р1=0,8 возможного значения x1, математическое ожидание М(Х)=3,2 и дисперсия D(Х)=0,16. Найти закон распределения этой случайной величины.
497. Непрерывная случайная величина X задана своей плотностью распределения вероятностей f(х). Требуется:
1) определить коэффициент А;
2) найти функцию распределения F(х);
3) схематично построить графики функций f(x) и F(х);
4) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X;
5) определить вероятность того, что X примет значения из интервала
(α, β).
507. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, если известна выборочная средняя =60.24 , объем выборки n=100 и среднее квадратическое отклонение σ=7.
517. Данные наблюдений над двумерной случайной величиной (Х,У) представлены в корреляционной таблице. Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X:

У\ X 6 7 8 9 10 nУ
2 2 5 - - - 7
3 - 3 8 6 - 17
4 - 4 5 9 - 18
5 - - - 3 5 8
nх 2 12 13 18 5 50

527. Требуется при уровне значимости α = 0,05 проверить по кри¬терию согласия Пирсона гипотезу о нормальном распределении генераль¬ной совокупности. Если известны эмпирические частоты ni и теоретиче¬ские частоты ni
ni 6 15 16 26 19 12 6
ni 5 17 13 25 21 12 7

нет