Высшая математика Вариант6.

1-10. Даны четыре вектора =(а1,а2,а3), =(b1,b2,b3), =(c1,c2,c3), =(d1,d2,d3) в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
6. =(1;4;1), =(-3;2;0), =(1;-1;2), =(-9;-8;3).
Решение:
проверим, являются ли векторы , , линейно независимыми, т.е. выполняется ли:
.
Равенство соответствует однородной системе линейных уравнений:

известно, что такая система имеет единственное решение нулевое тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля, найдем определитель системы:
, следовательно, рассматриваемая система имеет единственное нулевое решение . Тогда векторы , , образуют базис, что и требовалось показать.
Найдем координаты вектора в этом базисе:
пусть в этом базисе координаты вектора , тогда:
и следовательно, получим систему линейных уравнений:
решим ее методом Гаусса:
выпишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к «треугольному» виду
, следовательно,

т.е. искомые координаты: .


11-20. Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4. Найти:1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж.
16. А1(9;5;5), А2(-3;7;1), А3(5;7;8), А4(6;9;2).
Решение:
1) длину ребра найдем как длину вектора , для этого найдем сначала координаты этого вектора:
, тогда ;
2) угол между ребрами и найдем как угол между векторами и , для этого сначала найдем координаты вектора , тогда
, следовательно, искомый угол равен ;

1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
1-10. Даны четыре вектора =(а1,а2,а3), =(b1,b2,b3), =(c1,c2,c3), =(d1,d2,d3) в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе. 6. =(1;4;1), =(-3;2;0), =(1;-1;2), =(-9;-8;3).

11-20. Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4. Найти:1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж. 16. А1(9;5;5), А2(-3;7;1), А3(5;7;8), А4(6;9;2).


26. Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин В(-4;-5) и уравнения двух его высот 5х + 3у 4 = 0 и 3х 8у 13 = 0.


36. Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки А(3;0) вдвое дальше, чем от прямой х = 1. Сделать чертеж.

41-50. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:
1) построить линию по точкам, начиная от = 0 до и придавая значения через промежуток ;
2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью;
3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия. 46.


2. Элементы линейной алгебры
51-60. Дана система линейных уравнений
Доказать совместность системы и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
56.

61-70. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее , , через , , .

71-80. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

81-90. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.

91-100. Дано комплексное число z. Требуется:
1) записать его в алгебраической и тригонометрической формах;
2) найти все корни уравнения .


3. Введение в математический анализ
101-110. а) найти область определения функции;
б,в) построить графики функций при помощи преобразований графиков
основных элементарных функций.

111-120. Нати пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

121-130. Заданы функция и два значения аргумента х1 и х2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.

131-140. Задана функция . Найти точки разрыва, если они существуют. Сделать схематический чертеж.

нет