Высшая мотематика.

а) Пусть z=(x+iy); w=u+iv; ; тогда:
u=x2-y2, v=2xy.

Найдем образы координатных линий. При Луч перейдет в u=4y2, v=8y. Исключая y, получим параболу относительно оси ОU, ветви направлены влево:

6. Найти угол поворота φ направления, выходящего из точки при отображении w=ch8+chz.
Находим производную:
;

(т.к. x=0; y>0).

7. Какая часть плоскости сжимается и какая растягивается при отображении .

Находим производную:
, тогда:



Т.к. модуль производной является коэффициентом линейного растяжения, то область где сжимается, а область где растягивается:


т.е. внешность круга с центром в точке (-1,0) и радиуса при отображении w сжимается:

15 заданий
1. Для отображения w=z2 найти: а) образы линий х=|c|,y=|c|, x=y, |z|=R, argz=a ; б) прообразы линий U=|c|,V=|c|.
2. Найти Rez и Imz: a) (-1-iV3)^100; б) z=sin(-1-iV3 ); в) ; г) .
3. Найти геометрическое место точек: а)|z|+Rez=1; б) |(z-1-iV3)/(1+iV3-z)|=1
4. Найти Rew и Imw: w=-1-iV3+z+1/z+coszi;
5. Найти все значения функци w=(z^1/3-c)/z в точках:
а) При z=c;б) При z=i;
6. Найти угол поворота φ направления, выходящего из точки z=пi/2 при отображении w=ch8+chz.
7. Какая часть плоскости сжимается и какая растягивается при отображении w=cz/(1+z).
8. В каких точках дифференцируема функция w=(z+c)Imz
9. Найти дробно-линейную функцию, отображающую три точки
(0,i,1i ) в три точки, соответственно (0,1,бесконечность).
. Найти линейную функцию, отображающую круг |z-c|

нет