Основные положения метода конечных элементов и суперэлементов

Метод конечных элементов (МКЭ) занимает исключительное место в теории расчета конструкций, а его обобщение – метод суперэлементов – позволяет естественным образом ввести и описать идеею иерархически построенных сложных систем.

Рассмотрим плоскую раму каркаса промышленного здания, стойки которой жестко защемлены в фундаментах, а ригели жестко прикреплены к стойкам.
Ограничим рассмотрение случаем, когда на раму действует только узловая нагрузка. Пронумеруем узлы – точки пересечения осей стержней друг с другом и “землей”. В каждом узле i рамы на нее могут действовать сосредоточенные силы Fx, Fy и момент М, заданные в некоторой глобальной системе координат, связанной с рамой.

Введем в рассмотрение вектор {Fi} обобщенных сил, действующих на раму в узле i

[pic] (1)

Совокупность внешних воздействий на всю раму будет характеризоваться вектором {F}:

[pic] (2)

Где N-число узлов рамы. Размерность этого вектора 3хN (пока не учитываем факт прикрепления некоторых узлов к “земле”). Под действием внешних сил {F} стержни рамы получают деформации, а узлы переместятся.
После перемещения узлов рамы будем описывать в глобальной системе координат. Перемещения {(i} каждого узла характеризуется тремя числами – линейными перемещениями (xi, (yi и углом поворота (i, являющимися компонентами вектора обобщенных перемещений узла (i:

[pic] (3)

А перемещения всей рамы вектором (:

[pic] (4)

Здесь, как и выше, не учитываются условия закрепления стоек рамы и узлов.

Напряженно-деформированное состояние каждого стержня удобнее характеризировать в локальной системе координат, связанной с ним. Ось х’ этой системы координат направим от “начала” q стержня к его “концу” r
(понятие “начало” и ‘конец” условны и нужны только для того, чтобы задать положительное направление на оси х’), ось у’ – в плоскости рамы, а ось z’ – перпендикулярно плоскости. Положительные направления осей y’ и z’ выберем так, чтобы они образовывали с x' правую систему координат.

Проведем в каждом стержне рамы по 2 поперечных сечения на расстоянии, бесконечно близких к узлам – концам стержней q и r. В каждом из полученных решений в общем случае действуют три усилия N, Q, M, приложенные к узлу.
Введем вектор обобщенных усилий в сечении с’ стержня m:

[pic] (5)

И вектор усилий {fm}, характеризующий напряженное сечение стержня m через векторы усилий в его концевых стержнях q и r (“начале ” и “конце”)

[pic] (6)

(штрих означает, что компоненты {fm’} вычислены в локальной системе координат).

Вектор {fm’} полностью характеризует напряженно-деформированное состояние стержня, если к его внутренним точкам не приложены внешние воздействия и известны жесткостные характеристики стержня. Разумеется шесть компонент вектора {fm’} связаны между собой уравнениями равновесия стержня как жесткого тела, но эти уравнения в явном виде далее не используются.

Напряженно-деформированное состояние того же стержня характеризуется и вектором обобщенных перемещений концов стержня q и r, который строится из соответствующих компонент вектора, см. выражение (4):

[pic] (7)

Отметим, что при таком введении вектора обобщенных перемещений стержня его напряженно деформированное состояние зависит не только от значений
{(m}, но и от способов прикрепления стержня m к узлам q и к и его жесткости.

Например, если бы конец q ригеля был присоединен к стойке шарнирно, то усилие М в сечении q было бы равно нулю, независимо от значений компонент
{(m}.

Компоненты вектора {fm’} заданны в локальной системе отсчета, а компоненты вектора {(m} – в глобальной. Для установления связи векторов
{fm’} и {(m} в простейшем виде запишем компоненты {(m} тоже в локальной системе отсчета, связанной с рассматриваемым стержнем. Обозначим матрицу преобразования координат

[pic] (8)