Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

В третьей главе предлагается модифицированный численный метод параллельной стрельбы с переменным шагом решения краевых задач для систем уравнений Нернста-Планка и Пуассона.

Необходимость модификации метода параллельной стрельбы вызвана тем, что метод параллельной стрельбы с постоянным шагом позволяет решать сингулярно возмущенные задачи для не очень малых значений параметра при старшей производной . При меньших значениях малого параметра  отрезок интегрирования приходится разбивать на большое количество подотрезков ~105…107. В результате размерность системы увеличивается настолько, что реализация итерационной процедуры на ЭВМ становится затруднительной из-за большого объема хранимых данных, а продолжительность времени вычислительного процесса становится очень большим. В то же время, при решении систем уравнений Нернста-Планка и Пуассона область, в которой интегрируемые функции резко возрастают, занимает сравнительно небольшую долю внутри отрезка интегрирования. Так как в обычной реализации метода параллельной стрельбы длины всех подотрезков предполагаются одинаковыми, то наличие узкой области, в которой значения интегрируемых функций достигают больших величин, определяет размерность всей итерационной процедуры. Использование же автоматического разбиения области интегрирования на подотрезки разной длины позволяет значительно (на несколько порядков) сократить размерность процедуры параллельной стрельбы.

Модификация метода основана на разбиении исходного отрезка, на котором решается задача, на подотрезки, длины которых, в отличие от метода параллельной стрельбы с постоянным шагом, вообще говоря, не одинаковы. Величина шага определяется автоматически быстротой изменения интегрируемых функций. Точка wi становится точкой разбиения исходного отрезка на подотрезки, если не выполняется хотя бы одно из условий

, (1)

где  – интегрируемые функции, M – наперед заданная константа.

Кроме того, вводится замена переменных:

; ; , (2)

где C1 – концентрация противоионов; CА – концентрация коионов; Е – напряженность электрического поля.

Предложенная замена переменных позволяет избежать появления отрицательных значений концентраций (что противоречит их физическому смыслу) и способствует повышению устойчивости итерационного процесса решения краевой задачи.

Для тестирования метода решалась известная краевая задача для системы уравнений Нернста-Планка и Пуассона с малым параметром при старшей производной, описывающая перенос ионов сильного электролита типа NaCl через отдающий противоионы диффузионный слой толщины d.

В новых переменных краевая задача записывается в виде:

 (3)

Для повышения надежности вычислительных итераций также использовался метод продолжения по параметру и предложенная А.Н. Тихоновым регуляризация метода Ньютона. В качестве параметра продолжения был выбран малый безразмерный параметр .

В диссертационной работе получено решение задачи (3) для значений малого параметра  вплоть до 10-7, в то время как использование метода параллельной стрельбы с шагом постоянной длины позволяет получить решение только для  (К.А. Лебедев). Таким образом, за счет модификации метода удалось понизить величину малого параметра, для которого метод дает устойчивое решение, на два порядка.

Показано совпадение найденных решений при e<10-5 с асимптотическими решениями, полученными М.Х. Уртеновым, а при e>10-5 с решениями, полученными К.А. Лебедевым методом параллельной стрельбы с постоянным шагом.

Четвертая глава посвящена исследованию строения двойного электрического слоя (ДЭС) на межфазной границе. Рассматривается перенос ионов сильного электролита типа 1:1 с учетом пространственного заряда как в диффузионном слое, так и в фазе мембраны.

Математическая модель представляет собой совокупность следующих уравнений:

- уравнения Нернста-Планка во всех трех слоях:

, j=1, 2; m=1, 2, 3, (4)

где j=1 для противоионов, j=2 для коионов; m – номер слоя.

- уравнение Пуассона в диффузионных слоях (I), (II) и в мембране:

, (5)

где d – толщина диффузионного слоя, d – толщина мембраны. Остальные обозначения общепринятые.

- на границах диффузионный слой (I)/мембрана (, ) и мембрана/диффузионный слой (II) (, ) при использовании уравнения Пуассона задаются условия непрерывности концентраций, напряженности электрического поля и электрического потенциала:

, m=1/2, (6а)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: банк курсовых работ бесплатно, мировая торговля.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата