Лекция 2

3.1. Возникновение волны. Группа волн

[pic]

Пожалуй, самыми наглядными являются волны на поверхности воды. Их можно просто увидеть невооруженным взглядом. При каких условиях возникают такие волны? Проще всего бросить камень, скажем, в пруд со спокойной поверхностью воды. От места падения камня начнет распространяться волна, которую можно назвать кольцевой. Ее амплитуда в зависимости от расстояния до точки падения будет изменяться так же, как и у волны цилиндрической.

Однако, это не совсем такая волна, о которой мы говорили.
Синусоидальная волна не должна иметь начала или конца, чего, конечно, нельзя сказать о волне, возникшей при падении камня в воду.
(

0 r

[pic]

В этом случае будет распространяться так называемая “группа волн”.
Выбрав некоторое направление, мы увидим волну с возрастающей и затем убывающей амплитудой. В оптике такую волну называют цугом. Почему она называется группой должно быть понятно из дальнейшего.

Совсем не обязательно, чтобы такая группа волн имела показанную на рисунке динамику увеличения и уменьшения амплитуды, показанный профиль. Для нас важнее понять, почему волна в этом случае имеет название “группы”. Для этого надо вспомнить возникновение биений, которые наблюдаются при сложении колебаний близких частот. Разность фаз таких колебаний

[pic]

изменяется достаточно медленно. Между моментами, когда амплитуда суммарных колебаний

[pic]

[pic]

[pic]

со средней частотой [pic] обращается в нуль, проходит достаточно много (по сравнению с периодом колебаний) времени:

[pic]; [pic];

[pic],

поскольку разность частот колебаний много меньше средней частоты: [pic].
Поэтому мы наблюдаем приблизительно гармонические колебания с медленно изменяющейся амплитудой. Амплитудой в этом случае называется произведение подчеркнутых сомножителей в выписанных выше выражениях.

Предположим теперь, что вдоль некоторого направления распространяются плоские волны с близкими длинами волн. Соответственно и частоты распространяющихся с ними колебаний будут близкими. В каждой точке, например, в точке x = 0 будут наблюдаться биения:

[pic]

[pic].

С другой стороны, в фиксированный момент времени (пусть t = 0) мы получим такой профиль волны:

[pic]

[pic].

В этом выражении [pic], k - среднее значение волнового числа. Обратите внимание на сходство выражения, описывающее профиль нашей волны, и выражения, которое описывает процесс биений.