Колебания.

Периодическое движение.

Среди всевозможных совершающихся вокруг нас механических движений часто встречаются повторяющиеся движения. Любое равномерное вращение является повторяющимся движением: при каждом обороте всякая точка равномерно вращающегося тела проходит те же положения, что и при предыдущем обороте, причем в такой же последовательности и с такой же скоростью.
В действительности не всегда и не при всяких условиях повторение совершенно одинаково. В одних случаях каждый новый цикл очень точно повторяет предыдущий, в других случаях различие между следующими друг за другом циклами может быть заметным. Отклонения от совершенно точного повторения очень часто настолько малы , что ими можно пренебречь и считать движение повторяющимся вполне точно, т.е. считать его периодическим.
Периодическим называется повторяющееся движение, у которого каждый цикл в точности воспроизводит любой другой цикл.
Продолжительность одного цикла называется периодом. Очевидно, период равномерного вращения равен продолжительности одного оборота.

Свободные колебания.

В природе, и особенно в технике, чрезвычайно большую роль играют колебательные системы, т.е. те тела и устройства, которые сами по себе способны совершать периодические движения. «Сами по себе» - это значит не будучи принуждаемы к этому действием периодических внешних сил. Такие колебания называются поэтому свободными колебаниями в отличие от вынужденных, протекающих под действием периодически меняющихся внешних сил.
Всем колебательным системам присущ ряд общих свойств:
1. У каждой колебательной системы есть состояние устойчивого равновесия.
2. Если колебательную систему вывести из состояния устойчивого равновесия, то появляется сила, возвращающая систему в устойчивое положение.
3. Возвратившись в устойчивое состояние, колеблющееся тело не может сразу остановиться.

Маятник; кинематика его колебаний.

Маятником является всякое тело, подвешенное так, что его центр тяжести находится ниже точки подвеса. Молоток, висящий на гвозде, весы, груз на веревке – все это колебательные системы, подобные маятнику стенных часов.
У всякой системы, способной совершать свободные колебания, имеется устойчивое положение равновесия. У маятника это положение, при котором центр тяжести находится на вертикали под точкой подвеса. Если мы выведем маятник из этого положения или толкнем его, то он начнет колебаться, отклоняясь то в одну сторону, то в другую сторону от положения равновесия.
Наибольшее отклонение от положения равновесия, до которого доходит маятник, называется амплитудой колебаний. Амплитуда определяется тем первоначальным отклонением или толчком, которым маятник был приведен в движение. Это свойство – зависимость амплитуды от условий в начале движения – характерно не только для свободных колебаний маятника , но и вообще для свободных колебаний очень многих колебательных систем.
Прикрепим к маятнику волосок и будем двигать под этим волоском закопченную стеклянную пластинку. Если двигать пластинку с постоянной скоростью в направлении, перпендикулярном к плоскости колебаний, то волосок прочертит на пластинки волнистую линию. Мы имеем в этом опыте простейший осциллограф
– так называются приборы для записи колебаний. Таким образом волнистая линия представляет собой осциллограмму колебаний маятника.

Амплитуда колебаний изображается на этой осциллограмме отрезком AB, период изображается отрезком CD, равным расстоянию, на которое передвигается пластинка за период маятника.
Так как мы двигаем закопченную пластинку равномерно, то всякое ее перемещение пропорционально времени, в течении которого оно совершалось. Мы можем сказать поэтому, что вдоль оси x в определенном масштабе отложено время. С другой стороны, в направлении, перпендикулярном к x волосок отмечает на пластинке расстояние конца маятника от его положения равновесия, т.е. путь пройденный концом маятника от этого положения.
Как мы знаем, наклон линии на таком графике изображает скорость движения.
Через положение равновесия маятник проходит с наибольшей скоростью.
Соответственно этому и наклон волнистой линии наибольший в тех точках, где она пересекает ось x. Наоборот, в моменты наибольших отклонений скорость маятника равна нулю. Соответственно этому и волнистая линия в тех точках, где она наиболее удалена от оси x, имеет касательную параллельную x, т.е. наклон равен нулю

Гармоническое колебание. Частота.

Колебание, какое совершает при равномерном движении точки по окружности проекция этой точки на какую-либо прямую, называется гармоническим (или простым) колебанием.
Гармоническое колебание является специальным, частным видом периодического колебания. Этот специальный вид колебания очень важен, так как он чрезвычайно часто встречается в самых различных колебательных системах.
Колебание груза на пружине, камертона, маятника, зажатой металлической пластинки как раз и является по своей форме гармоническим. Следует заметить, что при больших амплитудах колебания указанных систем имеет несколько более сложную форму, но они тем ближе к гармоническому, чем меньше амплитуда колебаний.

Если на горизонтальной оси откладывать центральный угол[pic], а на вертикальной - перпендикуляр ВВ’, опущенный из конца вращающегося радиуса
ОВ на неподвижный диаметр АА’( угол … отсчитывается от неподвижного радиуса ОА), то получится кривая ,называемая синусоидой. Для каждой абсциссы a ордината этой кривой BB’ пропорциональна синусу угла a, так как

Число циклов гармонического колебания, совершаемых за 1с, называется частотой этого колебания. Единицу частоты называют герцем.
Вообще обозначая продолжительность периода за, выраженную в секундах, через
T, а частоту, выраженную в герцах, через v, будем иметь

Динамика гармонических колебаний.

Рассмотрим динамику свободных колебаний в идеальных колебательных системах без трения.
Отведем шар пружинного маятника от положения равновесия. В этом случае на шар действует возвращающая сила, направленная в сторону положения равновесия.

Ее проекция имеет знак, противоположный знаку смещения x
Аналогично обстоит дело в случае математического маятника. Отведем маятник от положения равновесия. В этом случае равнодействующая силы тяжести и силы упругости нити направлена в сторону положения равновесия. Эту силу можно выразить так:
Но если рассматривать колебания с маленькими углами отклонения, то так как [pic]. Величина [pic] постоянна. Обозначим ее через k. Тогда
Направлена сила в сторону противоположную смещению.

Превращения энергии при свободных колебаниях.

Отведем маятник на небольшой угол a от положения равновесия. Этим мы сообщим маятнику потенциальную энергию:
Где Hmax – максимальная высота подъема маятника.
Отпустим маятник. Под действием силы тяжести и силы реакции маятника будет двигаться к положению равновесия. При этом его потенциальная энергия превращается в кинетическую. В положении равновесия вся сообщенная маятнику потенциальная энергия превратится в кинетическую:
Где[pic]- максимальное значение скорости движения тела, подвешенного к нити.
При отсутствие сил трения по закону сохранения энергии максимальное значение потенциальной энергии равно максимальному значению кинетической энергии:

Итак, при колебаниях маятника происходит периодическое превращении потенциальной энергии в кинетическую и обратно:
В произвольный момент полная механическая энергия колеблющегося тела по закону превращения и сохранения энергии равна сумме его потенциальной и кинетической энергии:

Период.

Период колебаний маятника, близкого по своим свойствам к математическому маятнику, не зависит от массы маятника.
Заставим маятник описывать коническую поверхность. В этом случае шарик маятника двигается по окружности. Определив период обращения маятника, обнаружим, что он равен периоду колебаний этого маятника:
Период обращения конического маятника же равен длине описываемой окружности, деленной на линейную скорость:
На шарик действует центростремительная сила, так как он двигается по окружности.
Итак период математического маятника зависит только от длины маятник l и от ускорения свободного падения g.

Сдвиг фаз.

Возьмем два одинаковых маятника и отклоним их в одну и ту же сторону на один и тот же угол от вертикали. Если теперь их отпустить, то мы два гармонических колебания с одинаковыми амплитудами и частотами. Казалось бы, никакого различия между ними быть не может.
Однако стоит нам отпустить маятники не одновременно, и мы сразу увидим разницу: колебания будут сдвинуты по времени.
Про колебания одинаковой частоты, но смещенные по времени, говорят, что они сдвинуты по фазе. Смещение по времени выражается в долях периода, а сдвиг или разность фаз – в угловых единицах.
Если второе колебание запаздывает по сравнению с первым на 1/8 периода, то это значит, что оно отстает по фазе на 360*1/8=45, или сдвинуто по фазе на
–45. Если второе колебание опережает первое на 1/8 периода, то говорят, что оно опережает его по фазе на 45, или сдвинуто по фазе +45.
Если колебания происходят без запаздывания, то их называют синфазными, или говорят, что они совершаются в фазе. При запаздывание одного на полпериода говорят, что колебания происходят в противофазе.

Вынужденные колебания.

Мы уже упоминали о таких случаях, когда периодическое движение тела происходит не свободно, а в результате действия периодически меняющейся силы.
Подобные повторяющиеся силы вызывают периодическое движение даже таких тел, которые сами не являются колебательными системами.
Но как будет обстоять дело в том случае, если периодическая система действует на колебательную систему.
1. В колебательной системе, на которую действует периодически меняющиеся сила, устанавливается периодическое движение.
2. Период вынужденных колебаний равен периоду действующей силы.

Волны.